x^2+3x-9=0 megoldása

$${ x }^{ 2 } +3x-9 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{3 \sqrt{5} - 3}{2} \approx 1,854101966$$

$$x=\frac{-3\sqrt{5}-3}{2}\approx -4,854101966$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$x^{2}+3x-9=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 3 értéket b-be és a(z) -9 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-9\right)}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-9\right)}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -9.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+36}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 9 és 36.

$$x=\frac{-3±\sqrt{45}}{2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 45.

$$x=\frac{-3±3\sqrt{5}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-3±3\sqrt{5}}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -3 és 3\sqrt{5}.

$$x=\frac{3\sqrt{5}-3}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-3±3\sqrt{5}}{2}). ± előjele negatív. 3\sqrt{5} kivonása a következőből: -3.

$$x=\frac{-3\sqrt{5}-3}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{3\sqrt{5}-3}{2} x=\frac{-3\sqrt{5}-3}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$x^{2}+3x-9=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 9.

$$x^{2}+3x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -9 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$x^{2}+3x=-\left(-9\right)$$

-9 kivonása a következőből: 0.

$$x^{2}+3x=9$$

Elosztjuk a(z) 3 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{3}{2}. Ezután hozzáadjuk \frac{3}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=9+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

A(z) \frac{3}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=9+\frac{9}{4}$$

Összeadjuk a következőket: 9 és \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{45}{4}$$

A(z) x^{2}+3x+\frac{9}{4} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{45}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{45}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{3\sqrt{5}}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{3\sqrt{5}}{2}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{3}{2}.

$$x=\frac{3\sqrt{5}-3}{2} x=\frac{-3\sqrt{5}-3}{2}$$