x^2+3x-65=10 megoldása

$${ x }^{ 2 } +3x-65=10$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{\sqrt{309} - 3}{2} \approx 7,289197916$$

$$x=\frac{-\sqrt{309}-3}{2}\approx -10,289197916$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$x^{2}+3x-65=10$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 10.

$$x^{2}+3x-65-10=10-10$$

Ha kivonjuk a(z) 10 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$x^{2}+3x-65-10=0$$

10 kivonása a következőből: -65.

$$x^{2}+3x-75=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 3 értéket b-be és a(z) -75 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-75\right)}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-75\right)}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -75.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+300}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 9 és 300.

$$x=\frac{-3±\sqrt{309}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-3±\sqrt{309}}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -3 és \sqrt{309}.

$$x=\frac{\sqrt{309}-3}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-3±\sqrt{309}}{2}). ± előjele negatív. \sqrt{309} kivonása a következőből: -3.

$$x=\frac{-\sqrt{309}-3}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{309}-3}{2} x=\frac{-\sqrt{309}-3}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$x^{2}+3x-65=10$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 65.

$$x^{2}+3x-65-\left(-65\right)=10-\left(-65\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -65 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$x^{2}+3x=10-\left(-65\right)$$

-65 kivonása a következőből: 10.

$$x^{2}+3x=75$$

Elosztjuk a(z) 3 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{3}{2}. Ezután hozzáadjuk \frac{3}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=75+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

A(z) \frac{3}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=75+\frac{9}{4}$$

Összeadjuk a következőket: 75 és \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{309}{4}$$

Tényezőkre x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{309}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{309}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{309}}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{309}}{2}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{3}{2}.

$$x=\frac{\sqrt{309}-3}{2} x=\frac{-\sqrt{309}-3}{2}$$