x^2+3x-180=0 megoldása

$${ x }^{ 2 } +3x-180=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-15$$

$$x=12$$

A tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához szorzattá alakítjuk a(z) x^{2}+3x-180 kifejezést a(z) x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) képlet alapján. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=3 ab=-180$$

Mivel a ab negatív, a és b ellentétes jelei vannak. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám értéke nagyobb, mint a negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -180.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 3.

$$a=-12 b=15$$

Az eredményül kapott értékeket használva átírjuk a tényezőkre bontott \left(x+a\right)\left(x+b\right) kifejezést.

$$\left(x-12\right)\left(x+15\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához x-12=0 és x+15=0.

$$x=12 x=-15$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk x^{2}+ax+bx-180 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=3 ab=1\left(-180\right)=-180$$

Mivel a ab negatív, a és b ellentétes jelei vannak. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám értéke nagyobb, mint a negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -180.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 3.

$$a=-12 b=15$$

Átírjuk az értéket (x^{2}+3x-180) \left(x^{2}-12x\right)+\left(15x-180\right) alakban.

$$\left(x^{2}-12x\right)+\left(15x-180\right)$$

Kiemeljük a(z) x tényezőt az első, a(z) 15 tényezőt pedig a második csoportban.

$$x\left(x-12\right)+15\left(x-12\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-12 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-12\right)\left(x+15\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához x-12=0 és x+15=0.

$$x=12 x=-15$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$x^{2}+3x-180=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 3 értéket b-be és a(z) -180 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-180\right)}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-180\right)}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -180.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+720}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 9 és 720.

$$x=\frac{-3±\sqrt{729}}{2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 729.

$$x=\frac{-3±27}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-3±27}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -3 és 27.

$$x=\frac{24}{2}$$

24 elosztása a következővel: 2.

$$x=12$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-3±27}{2}). ± előjele negatív. 27 kivonása a következőből: -3.

$$x=-\frac{30}{2}$$

-30 elosztása a következővel: 2.

$$x=-15$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=12 x=-15$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$x^{2}+3x-180=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 180.

$$x^{2}+3x-180-\left(-180\right)=-\left(-180\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -180 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$x^{2}+3x=-\left(-180\right)$$

-180 kivonása a következőből: 0.

$$x^{2}+3x=180$$

Elosztjuk a(z) 3 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{3}{2}. Ezután hozzáadjuk \frac{3}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=180+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

A(z) \frac{3}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=180+\frac{9}{4}$$

Összeadjuk a következőket: 180 és \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{729}{4}$$

A(z) x^{2}+3x+\frac{9}{4} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{729}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{27}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{27}{2}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{3}{2}.

$$x=12 x=-15$$