x^2+3x-10>=0 megoldása

$${ x }^{ 2 } +3x-10 > =0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x\in \left(-\infty,-5\right)\cup \left(2,\infty\right)$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Az egyenlőtlenség megoldásához szorzattá alakítjuk a bal oldalt. A másodfokú polinomiális kifejezés ezzel a transzformációval faktorálható: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). A másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása x_{1} és x_{2}.

$$x^{2}+3x-10=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 3 értéket b-be és a(z) -10 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 1\left(-10\right)}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{-3±7}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-3±7}{2}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=2 x=-5$$

Átírjuk az egyenlőtlenséget a kapott megoldások felhasználásával.

$$\left(x-2\right)\left(x+5\right)>0$$

A szorzat csak akkor pozitív, ha a két érték (x-2 és x+5) egyaránt negatív vagy pozitív. Tegyük fel, hogy x-2 és x+5 eredménye egyaránt negatív.

$$x-2<0 x+5<0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x<-5.

$$x<-5$$

Tegyük fel, hogy x-2 és x+5 eredménye egyaránt pozitív.

$$x+5>0 x-2>0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x>2.

$$x>2$$

Az utolsó megoldás a kapott megoldások uniója.

$$x<-5\text{; }x>2$$