x^2+25x+100=0 megoldása

$${ x }^{ 2 } +25x+100=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-20$$

$$x=-5$$

A tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához szorzattá alakítjuk a(z) x^{2}+25x+100 kifejezést a(z) x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) képlet alapján. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=25 ab=100$$

Mivel ab pozitív, a és a b ugyanaz a jele. Mivel a+b pozitív, a és a b pozitívak. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 100.

$$1,100 2,50 4,25 5,20 10,10$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1+100=101 2+50=52 4+25=29 5+20=25 10+10=20$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 25.

$$a=5 b=20$$

Az eredményül kapott értékeket használva átírjuk a tényezőkre bontott \left(x+a\right)\left(x+b\right) kifejezést.

$$\left(x+5\right)\left(x+20\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához x+5=0 és x+20=0.

$$x=-5 x=-20$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk x^{2}+ax+bx+100 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=25 ab=1\times 100=100$$

Mivel ab pozitív, a és a b ugyanaz a jele. Mivel a+b pozitív, a és a b pozitívak. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 100.

$$1,100 2,50 4,25 5,20 10,10$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1+100=101 2+50=52 4+25=29 5+20=25 10+10=20$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 25.

$$a=5 b=20$$

Átírjuk az értéket (x^{2}+25x+100) \left(x^{2}+5x\right)+\left(20x+100\right) alakban.

$$\left(x^{2}+5x\right)+\left(20x+100\right)$$

Kiemeljük a(z) x tényezőt az első, a(z) 20 tényezőt pedig a második csoportban.

$$x\left(x+5\right)+20\left(x+5\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x+5 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x+5\right)\left(x+20\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához x+5=0 és x+20=0.

$$x=-5 x=-20$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$x^{2}+25x+100=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 25 értéket b-be és a(z) 100 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-25±\sqrt{25^{2}-4\times 100}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 25.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-4\times 100}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 100.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-400}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 625 és -400.

$$x=\frac{-25±\sqrt{225}}{2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 225.

$$x=\frac{-25±15}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-25±15}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -25 és 15.

$$x=-\frac{10}{2}$$

-10 elosztása a következővel: 2.

$$x=-5$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-25±15}{2}). ± előjele negatív. 15 kivonása a következőből: -25.

$$x=-\frac{40}{2}$$

-40 elosztása a következővel: 2.

$$x=-20$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=-5 x=-20$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$x^{2}+25x+100=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 100.

$$x^{2}+25x+100-100=-100$$

Ha kivonjuk a(z) 100 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$x^{2}+25x=-100$$

Elosztjuk a(z) 25 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{25}{2}. Ezután hozzáadjuk \frac{25}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+25x+\left(\frac{25}{2}\right)^{2}=-100+\left(\frac{25}{2}\right)^{2}$$

A(z) \frac{25}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+25x+\frac{625}{4}=-100+\frac{625}{4}$$

Összeadjuk a következőket: -100 és \frac{625}{4}.

$$x^{2}+25x+\frac{625}{4}=\frac{225}{4}$$

A(z) x^{2}+25x+\frac{625}{4} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x+\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{225}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{25}{2}=\frac{15}{2} x+\frac{25}{2}=-\frac{15}{2}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{25}{2}.

$$x=-5 x=-20$$