x^2+19x+100=0 megoldása

$${ x }^{ 2 } +19x+100=0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{-19+\sqrt{39}i}{2}\approx -9,5+3,122498999i$$

$$x=\frac{-\sqrt{39}i-19}{2}\approx -9,5-3,122498999i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$x^{2}+19x+100=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 19 értéket b-be és a(z) 100 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\times 100}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 19.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-4\times 100}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 100.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-400}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 361 és -400.

$$x=\frac{-19±\sqrt{-39}}{2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -39.

$$x=\frac{-19±\sqrt{39}i}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-19±\sqrt{39}i}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -19 és i\sqrt{39}.

$$x=\frac{-19+\sqrt{39}i}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-19±\sqrt{39}i}{2}). ± előjele negatív. i\sqrt{39} kivonása a következőből: -19.

$$x=\frac{-\sqrt{39}i-19}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{-19+\sqrt{39}i}{2} x=\frac{-\sqrt{39}i-19}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$x^{2}+19x+100=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 100.

$$x^{2}+19x+100-100=-100$$

Ha kivonjuk a(z) 100 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$x^{2}+19x=-100$$

Elosztjuk a(z) 19 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{19}{2}. Ezután hozzáadjuk \frac{19}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+19x+\left(\frac{19}{2}\right)^{2}=-100+\left(\frac{19}{2}\right)^{2}$$

A(z) \frac{19}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+19x+\frac{361}{4}=-100+\frac{361}{4}$$

Összeadjuk a következőket: -100 és \frac{361}{4}.

$$x^{2}+19x+\frac{361}{4}=-\frac{39}{4}$$

Tényezőkre x^{2}+19x+\frac{361}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{19}{2}\right)^{2}=-\frac{39}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{39}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{19}{2}=\frac{\sqrt{39}i}{2} x+\frac{19}{2}=-\frac{\sqrt{39}i}{2}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{19}{2}.

$$x=\frac{-19+\sqrt{39}i}{2} x=\frac{-\sqrt{39}i-19}{2}$$