x^2+11x-10geq0 megoldása

$${ x }^{ 2 } +11x-10 \geq 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x\in (-\infty,\frac{-\sqrt{161}-11}{2}]\cup [\frac{\sqrt{161}-11}{2},\infty)$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Az egyenlőtlenség megoldásához szorzattá alakítjuk a bal oldalt. A másodfokú polinomiális kifejezés ezzel a transzformációval faktorálható: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). A másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása x_{1} és x_{2}.

$$x^{2}+11x-10=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 11 értéket b-be és a(z) -10 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 1\left(-10\right)}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{-11±\sqrt{161}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-11±\sqrt{161}}{2}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=\frac{\sqrt{161}-11}{2} x=\frac{-\sqrt{161}-11}{2}$$

Átírjuk az egyenlőtlenséget a kapott megoldások felhasználásával.

$$\left(x-\frac{\sqrt{161}-11}{2}\right)\left(x-\frac{-\sqrt{161}-11}{2}\right)\geq 0$$

A szorzat csak akkor ≥0, ha a két érték (x-\frac{\sqrt{161}-11}{2} és x-\frac{-\sqrt{161}-11}{2}) egyaránt ≤0 vagy ≥0. Tegyük fel, hogy x-\frac{\sqrt{161}-11}{2} és x-\frac{-\sqrt{161}-11}{2} eredménye egyaránt ≤0.

$$x-\frac{\sqrt{161}-11}{2}\leq 0 x-\frac{-\sqrt{161}-11}{2}\leq 0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x\leq \frac{-\sqrt{161}-11}{2}.

$$x\leq \frac{-\sqrt{161}-11}{2}$$

Tegyük fel, hogy x-\frac{\sqrt{161}-11}{2} és x-\frac{-\sqrt{161}-11}{2} eredménye egyaránt ≥0.

$$x-\frac{-\sqrt{161}-11}{2}\geq 0 x-\frac{\sqrt{161}-11}{2}\geq 0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x\geq \frac{\sqrt{161}-11}{2}.

$$x\geq \frac{\sqrt{161}-11}{2}$$

Az utolsó megoldás a kapott megoldások uniója.

$$x\leq \frac{-\sqrt{161}-11}{2}\text{; }x\geq \frac{\sqrt{161}-11}{2}$$