x^2+left(-3x+10right)^2=20 megoldása

$${ x }^{ 2 } + { \left(-3x+10 \right) }^{ 2 } =20$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=2$$

$$x=4$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(-3x+10\right)^{2}).

$$x^{2}+9x^{2}-60x+100=20$$

Összevonjuk a következőket: x^{2} és 9x^{2}. Az eredmény 10x^{2}.

$$10x^{2}-60x+100=20$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 20.

$$10x^{2}-60x+100-20=0$$

Kivonjuk a(z) 20 értékből a(z) 100 értéket. Az eredmény 80.

$$10x^{2}-60x+80=0$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 10.

$$x^{2}-6x+8=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk x^{2}+ax+bx+8 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=-6 ab=1\times 8=8$$

Mivel ab pozitív, a és a b ugyanaz a jele. Mivel a a+b negatív, a a és a b egyaránt negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 8.

$$-1,-8 -2,-4$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1-8=-9 -2-4=-6$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -6.

$$a=-4 b=-2$$

Átírjuk az értéket (x^{2}-6x+8) \left(x^{2}-4x\right)+\left(-2x+8\right) alakban.

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(-2x+8\right)$$

Kiemeljük a(z) x tényezőt az első, a(z) -2 tényezőt pedig a második csoportban.

$$x\left(x-4\right)-2\left(x-4\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-4 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-4\right)\left(x-2\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához x-4=0 és x-2=0.

$$x=4 x=2$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(-3x+10\right)^{2}).

$$x^{2}+9x^{2}-60x+100=20$$

Összevonjuk a következőket: x^{2} és 9x^{2}. Az eredmény 10x^{2}.

$$10x^{2}-60x+100=20$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 20.

$$10x^{2}-60x+100-20=0$$

Kivonjuk a(z) 20 értékből a(z) 100 értéket. Az eredmény 80.

$$10x^{2}-60x+80=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 10 értéket a-ba, a(z) -60 értéket b-be és a(z) 80 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{\left(-60\right)^{2}-4\times 10\times 80}}{2\times 10}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -60.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-4\times 10\times 80}}{2\times 10}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 10.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-40\times 80}}{2\times 10}$$

Összeszorozzuk a következőket: -40 és 80.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-3200}}{2\times 10}$$

Összeadjuk a következőket: 3600 és -3200.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{400}}{2\times 10}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 400.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±20}{2\times 10}$$

-60 ellentettje 60.

$$x=\frac{60±20}{2\times 10}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 10.

$$x=\frac{60±20}{20}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{60±20}{20}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 60 és 20.

$$x=\frac{80}{20}$$

80 elosztása a következővel: 20.

$$x=4$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{60±20}{20}). ± előjele negatív. 20 kivonása a következőből: 60.

$$x=\frac{40}{20}$$

40 elosztása a következővel: 20.

$$x=2$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=4 x=2$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(-3x+10\right)^{2}).

$$x^{2}+9x^{2}-60x+100=20$$

Összevonjuk a következőket: x^{2} és 9x^{2}. Az eredmény 10x^{2}.

$$10x^{2}-60x+100=20$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 100.

$$10x^{2}-60x=20-100$$

Kivonjuk a(z) 100 értékből a(z) 20 értéket. Az eredmény -80.

$$10x^{2}-60x=-80$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 10.

$$\frac{10x^{2}-60x}{10}=-\frac{80}{10}$$

A(z) 10 értékkel való osztás eltünteti a(z) 10 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{60}{10}\right)x=-\frac{80}{10}$$

-60 elosztása a következővel: 10.

$$x^{2}-6x=-\frac{80}{10}$$

-80 elosztása a következővel: 10.

$$x^{2}-6x=-8$$

Elosztjuk a(z) -6 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -3. Ezután hozzáadjuk -3 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-8+\left(-3\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -3.

$$x^{2}-6x+9=-8+9$$

Összeadjuk a következőket: -8 és 9.

$$x^{2}-6x+9=1$$

A(z) x^{2}-6x+9 kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x-3\right)^{2}=1$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-3=1 x-3=-1$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 3.

$$x=4 x=2$$