x^2+5/x^2=1 megoldása

$${ x }^{ 2 } + \frac{ 5 }{ { x }^{ 2 } } =1$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\sqrt[4]{5}e^{\frac{\arctan(\sqrt{19})i}{2}}\approx 1,169629851+0,931683417i$$

$$x=\sqrt[4]{5}e^{\frac{\arctan(\sqrt{19})i+2\pi i}{2}}\approx -1,169629851-0,931683417i$$

$$x=\sqrt[4]{5}e^{-\frac{\arctan(\sqrt{19})i}{2}}\approx 1,169629851-0,931683417i$$

$$x=\sqrt[4]{5}e^{\frac{-\arctan(\sqrt{19})i+2\pi i}{2}}\approx -1,169629851+0,931683417i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A változó (x) értéke nem lehet 0, mert nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a következővel: x^{2}.

$$x^{2}x^{2}+5=x^{2}$$

Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy összeadjuk a kitevőiket. 2 és 2 összege 4.

$$x^{4}+5=x^{2}$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: x^{2}.

$$x^{4}+5-x^{2}=0$$

t behelyettesítése x^{2} helyére.

$$t^{2}-t+5=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -1 értéket b-be és a(z) 5 értéket c-be a megoldóképletben.

$$t=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\times 5}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$t=\frac{1±\sqrt{-19}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (t=\frac{1±\sqrt{-19}}{2}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$t=\frac{1+\sqrt{19}i}{2} t=\frac{-\sqrt{19}i+1}{2}$$

Mivel x=t^{2}, a megoldások megtalálásához x=±\sqrt{t} értékét minden egyes t értékre vonatkozóan kiértékelve kapjuk meg.

$$x=\sqrt[4]{5}e^{\frac{\arctan(\sqrt{19})i+2\pi i}{2}} x=\sqrt[4]{5}e^{\frac{\arctan(\sqrt{19})i}{2}} x=\sqrt[4]{5}e^{-\frac{\arctan(\sqrt{19})i}{2}} x=\sqrt[4]{5}e^{\frac{-\arctan(\sqrt{19})i+2\pi i}{2}}$$

A változó (x) értéke nem lehet 0.

$$x=\sqrt[4]{5}e^{\frac{-\arctan(\sqrt{19})i+2\pi i}{2}}\text{, }x\neq 0 x=\sqrt[4]{5}e^{-\frac{\arctan(\sqrt{19})i}{2}}\text{, }x\neq 0 x=\sqrt[4]{5}e^{\frac{\arctan(\sqrt{19})i}{2}}\text{, }x\neq 0 x=\sqrt[4]{5}e^{\frac{\arctan(\sqrt{19})i+2\pi i}{2}}\text{, }x\neq 0$$