n^3+n^2+n=1110 megoldása

$${ n }^{ 3 } + { n }^{ 2 } +n = 1110$$

Megoldás a(z) n változóra

$$n=10$$

A megoldás lépései

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 1110.

$$n^{3}+n^{2}+n-1110=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) -1110 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±1110,±555,±370,±222,±185,±111,±74,±37,±30,±15,±10,±6,±5,±3,±2,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$n=10$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) n-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) n^{3}+n^{2}+n-1110 értéket a(z) n-10 értékkel. Az eredmény n^{2}+11n+111. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$n^{2}+11n+111=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 11 értéket b-be és a(z) 111 értéket c-be a megoldóképletben.

$$n=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 1\times 111}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$n=\frac{-11±\sqrt{-323}}{2}$$

Nincs megoldása az egyenletnek, mert az egyik negatív szám négyzetgyöke nincs definiálva a valós számok mezőjében.

$$n\in \emptyset$$

Listát készítünk az összes lehetséges megoldásról.

$$n=10$$