left(x+14right)^2-left(x+11right)^2=left(x-6right)^2 megoldása

$${ \left(x+14 \right) }^{ 2 } - { \left(x+11 \right) }^{ 2 } = { \left(x-6 \right) }^{ 2 }$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=2\sqrt{30}+9\approx 19,95445115$$

$$x=9-2\sqrt{30}\approx -1,95445115$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x+14\right)^{2}).

$$x^{2}+28x+196-\left(x+11\right)^{2}=\left(x-6\right)^{2}$$

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x+11\right)^{2}).

$$x^{2}+28x+196-\left(x^{2}+22x+121\right)=\left(x-6\right)^{2}$$

x^{2}+22x+121 ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$x^{2}+28x+196-x^{2}-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Összevonjuk a következőket: x^{2} és -x^{2}. Az eredmény 0.

$$28x+196-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Összevonjuk a következőket: 28x és -22x. Az eredmény 6x.

$$6x+196-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Kivonjuk a(z) 121 értékből a(z) 196 értéket. Az eredmény 75.

$$6x+75=\left(x-6\right)^{2}$$

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x-6\right)^{2}).

$$6x+75=x^{2}-12x+36$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: x^{2}.

$$6x+75-x^{2}=-12x+36$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 12x.

$$6x+75-x^{2}+12x=36$$

Összevonjuk a következőket: 6x és 12x. Az eredmény 18x.

$$18x+75-x^{2}=36$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 36.

$$18x+75-x^{2}-36=0$$

Kivonjuk a(z) 36 értékből a(z) 75 értéket. Az eredmény 39.

$$18x+39-x^{2}=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-x^{2}+18x+39=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -1 értéket a-ba, a(z) 18 értéket b-be és a(z) 39 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-1\right)\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 18.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-1\right)\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -1.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+4\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 4 és 39.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+156}}{2\left(-1\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 324 és 156.

$$x=\frac{-18±\sqrt{480}}{2\left(-1\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 480.

$$x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -1.

$$x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -18 és 4\sqrt{30}.

$$x=\frac{4\sqrt{30}-18}{-2}$$

-18+4\sqrt{30} elosztása a következővel: -2.

$$x=9-2\sqrt{30}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2}). ± előjele negatív. 4\sqrt{30} kivonása a következőből: -18.

$$x=\frac{-4\sqrt{30}-18}{-2}$$

-18-4\sqrt{30} elosztása a következővel: -2.

$$x=2\sqrt{30}+9$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=9-2\sqrt{30} x=2\sqrt{30}+9$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x+14\right)^{2}).

$$x^{2}+28x+196-\left(x+11\right)^{2}=\left(x-6\right)^{2}$$

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x+11\right)^{2}).

$$x^{2}+28x+196-\left(x^{2}+22x+121\right)=\left(x-6\right)^{2}$$

x^{2}+22x+121 ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$x^{2}+28x+196-x^{2}-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Összevonjuk a következőket: x^{2} és -x^{2}. Az eredmény 0.

$$28x+196-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Összevonjuk a következőket: 28x és -22x. Az eredmény 6x.

$$6x+196-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Kivonjuk a(z) 121 értékből a(z) 196 értéket. Az eredmény 75.

$$6x+75=\left(x-6\right)^{2}$$

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x-6\right)^{2}).

$$6x+75=x^{2}-12x+36$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: x^{2}.

$$6x+75-x^{2}=-12x+36$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 12x.

$$6x+75-x^{2}+12x=36$$

Összevonjuk a következőket: 6x és 12x. Az eredmény 18x.

$$18x+75-x^{2}=36$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 75.

$$18x-x^{2}=36-75$$

Kivonjuk a(z) 75 értékből a(z) 36 értéket. Az eredmény -39.

$$18x-x^{2}=-39$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-x^{2}+18x=-39$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -1.

$$\frac{-x^{2}+18x}{-1}=-\frac{39}{-1}$$

A(z) -1 értékkel való osztás eltünteti a(z) -1 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{18}{-1}x=-\frac{39}{-1}$$

18 elosztása a következővel: -1.

$$x^{2}-18x=-\frac{39}{-1}$$

-39 elosztása a következővel: -1.

$$x^{2}-18x=39$$

Elosztjuk a(z) -18 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -9. Ezután hozzáadjuk -9 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-18x+\left(-9\right)^{2}=39+\left(-9\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -9.

$$x^{2}-18x+81=39+81$$

Összeadjuk a következőket: 39 és 81.

$$x^{2}-18x+81=120$$

A(z) x^{2}-18x+81 kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x-9\right)^{2}=120$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-9\right)^{2}}=\sqrt{120}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-9=2\sqrt{30} x-9=-2\sqrt{30}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 9.

$$x=2\sqrt{30}+9 x=9-2\sqrt{30}$$