left(4x-12right)^2-4x(15-x)geq0 megoldása

$${ \left(4x-12 \right) }^{ 2 } -4x(15-x) \geq 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x\in (-\infty,\frac{39-3\sqrt{89}}{10}]\cup [\frac{3\sqrt{89}+39}{10},\infty)$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(4x-12\right)^{2}).

$$16x^{2}-96x+144-4x\left(15-x\right)\geq 0$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: -4x és 15-x.

$$16x^{2}-96x+144-60x+4x^{2}\geq 0$$

Összevonjuk a következőket: -96x és -60x. Az eredmény -156x.

$$16x^{2}-156x+144+4x^{2}\geq 0$$

Összevonjuk a következőket: 16x^{2} és 4x^{2}. Az eredmény 20x^{2}.

$$20x^{2}-156x+144\geq 0$$

Az egyenlőtlenség megoldásához szorzattá alakítjuk a bal oldalt. A másodfokú polinomiális kifejezés ezzel a transzformációval faktorálható: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). A másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása x_{1} és x_{2}.

$$20x^{2}-156x+144=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 20 értéket a-ba, a(z) -156 értéket b-be és a(z) 144 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-\left(-156\right)±\sqrt{\left(-156\right)^{2}-4\times 20\times 144}}{2\times 20}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{156±12\sqrt{89}}{40}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{156±12\sqrt{89}}{40}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=\frac{3\sqrt{89}+39}{10} x=\frac{39-3\sqrt{89}}{10}$$

Átírjuk az egyenlőtlenséget a kapott megoldások felhasználásával.

$$20\left(x-\frac{3\sqrt{89}+39}{10}\right)\left(x-\frac{39-3\sqrt{89}}{10}\right)\geq 0$$

A szorzat csak akkor ≥0, ha a két érték (x-\frac{3\sqrt{89}+39}{10} és x-\frac{39-3\sqrt{89}}{10}) egyaránt ≤0 vagy ≥0. Tegyük fel, hogy x-\frac{3\sqrt{89}+39}{10} és x-\frac{39-3\sqrt{89}}{10} eredménye egyaránt ≤0.

$$x-\frac{3\sqrt{89}+39}{10}\leq 0 x-\frac{39-3\sqrt{89}}{10}\leq 0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x\leq \frac{39-3\sqrt{89}}{10}.

$$x\leq \frac{39-3\sqrt{89}}{10}$$

Tegyük fel, hogy x-\frac{3\sqrt{89}+39}{10} és x-\frac{39-3\sqrt{89}}{10} eredménye egyaránt ≥0.

$$x-\frac{39-3\sqrt{89}}{10}\geq 0 x-\frac{3\sqrt{89}+39}{10}\geq 0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x\geq \frac{3\sqrt{89}+39}{10}.

$$x\geq \frac{3\sqrt{89}+39}{10}$$

Az utolsó megoldás a kapott megoldások uniója.

$$x\leq \frac{39-3\sqrt{89}}{10}\text{; }x\geq \frac{3\sqrt{89}+39}{10}$$