left(2x-3right)^2-left(x-5right)^2=-23 megoldása

$${ \left(2x-3 \right) }^{ 2 } - { \left(x-5 \right) }^{ 2 } =-23$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{1+2\sqrt{5}i}{3}\approx 0,333333333+1,490711985i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+1}{3}\approx 0,333333333-1,490711985i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(2x-3\right)^{2}).

$$4x^{2}-12x+9-\left(x-5\right)^{2}=-23$$

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x-5\right)^{2}).

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}-10x+25\right)=-23$$

x^{2}-10x+25 ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}+10x-25=-23$$

Összevonjuk a következőket: 4x^{2} és -x^{2}. Az eredmény 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9+10x-25=-23$$

Összevonjuk a következőket: -12x és 10x. Az eredmény -2x.

$$3x^{2}-2x+9-25=-23$$

Kivonjuk a(z) 25 értékből a(z) 9 értéket. Az eredmény -16.

$$3x^{2}-2x-16=-23$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 23.

$$3x^{2}-2x-16+23=0$$

Összeadjuk a következőket: -16 és 23. Az eredmény 7.

$$3x^{2}-2x+7=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) -2 értéket b-be és a(z) 7 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\times 7}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -12 és 7.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-84}}{2\times 3}$$

Összeadjuk a következőket: 4 és -84.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-80}}{2\times 3}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -80.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4\sqrt{5}i}{2\times 3}$$

-2 ellentettje 2.

$$x=\frac{2±4\sqrt{5}i}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 3.

$$x=\frac{2±4\sqrt{5}i}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{2±4\sqrt{5}i}{6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 2 és 4i\sqrt{5}.

$$x=\frac{2+4\sqrt{5}i}{6}$$

2+4i\sqrt{5} elosztása a következővel: 6.

$$x=\frac{1+2\sqrt{5}i}{3}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{2±4\sqrt{5}i}{6}). ± előjele negatív. 4i\sqrt{5} kivonása a következőből: 2.

$$x=\frac{-4\sqrt{5}i+2}{6}$$

2-4i\sqrt{5} elosztása a következővel: 6.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+1}{3}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{1+2\sqrt{5}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{5}i+1}{3}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(2x-3\right)^{2}).

$$4x^{2}-12x+9-\left(x-5\right)^{2}=-23$$

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x-5\right)^{2}).

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}-10x+25\right)=-23$$

x^{2}-10x+25 ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}+10x-25=-23$$

Összevonjuk a következőket: 4x^{2} és -x^{2}. Az eredmény 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9+10x-25=-23$$

Összevonjuk a következőket: -12x és 10x. Az eredmény -2x.

$$3x^{2}-2x+9-25=-23$$

Kivonjuk a(z) 25 értékből a(z) 9 értéket. Az eredmény -16.

$$3x^{2}-2x-16=-23$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 16.

$$3x^{2}-2x=-23+16$$

Összeadjuk a következőket: -23 és 16. Az eredmény -7.

$$3x^{2}-2x=-7$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=-\frac{7}{3}$$

A(z) 3 értékkel való osztás eltünteti a(z) 3 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{7}{3}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{2}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{1}{3}. Ezután hozzáadjuk -\frac{1}{3} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{1}{3} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{7}{3}+\frac{1}{9}$$

-\frac{7}{3} és \frac{1}{9} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{20}{9}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{20}{9}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{20}{9}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{5}i}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2\sqrt{5}i}{3}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{1}{3}.

$$x=\frac{1+2\sqrt{5}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{5}i+1}{3}$$