left(u+1right)^2=2u^2+5u+3 megoldása

$${ \left( u+1 \right) }^{ 2 } =2 { u }^{ 2 } +5u+3$$

Megoldás a(z) u változóra

$$u=-1$$

$$u=-2$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(u+1\right)^{2}).

$$u^{2}+2u+1=2u^{2}+5u+3$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2u^{2}.

$$u^{2}+2u+1-2u^{2}=5u+3$$

Összevonjuk a következőket: u^{2} és -2u^{2}. Az eredmény -u^{2}.

$$-u^{2}+2u+1=5u+3$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 5u.

$$-u^{2}+2u+1-5u=3$$

Összevonjuk a következőket: 2u és -5u. Az eredmény -3u.

$$-u^{2}-3u+1=3$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 3.

$$-u^{2}-3u+1-3=0$$

Kivonjuk a(z) 3 értékből a(z) 1 értéket. Az eredmény -2.

$$-u^{2}-3u-2=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk -u^{2}+au+bu-2 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=-3 ab=-\left(-2\right)=2$$

Mivel ab pozitív, a és a b ugyanaz a jele. Mivel a a+b negatív, a a és a b egyaránt negatív. Az egyetlen ilyen pár a rendszermegoldás.

$$a=-1 b=-2$$

Átírjuk az értéket (-u^{2}-3u-2) \left(-u^{2}-u\right)+\left(-2u-2\right) alakban.

$$\left(-u^{2}-u\right)+\left(-2u-2\right)$$

Kiemeljük a(z) u tényezőt az első, a(z) 2 tényezőt pedig a második csoportban.

$$u\left(-u-1\right)+2\left(-u-1\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) -u-1 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(-u-1\right)\left(u+2\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához -u-1=0 és u+2=0.

$$u=-1 u=-2$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(u+1\right)^{2}).

$$u^{2}+2u+1=2u^{2}+5u+3$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2u^{2}.

$$u^{2}+2u+1-2u^{2}=5u+3$$

Összevonjuk a következőket: u^{2} és -2u^{2}. Az eredmény -u^{2}.

$$-u^{2}+2u+1=5u+3$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 5u.

$$-u^{2}+2u+1-5u=3$$

Összevonjuk a következőket: 2u és -5u. Az eredmény -3u.

$$-u^{2}-3u+1=3$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 3.

$$-u^{2}-3u+1-3=0$$

Kivonjuk a(z) 3 értékből a(z) 1 értéket. Az eredmény -2.

$$-u^{2}-3u-2=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -1 értéket a-ba, a(z) -3 értéket b-be és a(z) -2 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$u=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -3.

$$u=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-1\right)\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -1.

$$u=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+4\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 4 és -2.

$$u=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8}}{2\left(-1\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 9 és -8.

$$u=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{1}}{2\left(-1\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 1.

$$u=\frac{-\left(-3\right)±1}{2\left(-1\right)}$$

-3 ellentettje 3.

$$u=\frac{3±1}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -1.

$$u=\frac{3±1}{-2}$$

Megoldjuk az egyenletet (u=\frac{3±1}{-2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 3 és 1.

$$u=\frac{4}{-2}$$

4 elosztása a következővel: -2.

$$u=-2$$

Megoldjuk az egyenletet (u=\frac{3±1}{-2}). ± előjele negatív. 1 kivonása a következőből: 3.

$$u=\frac{2}{-2}$$

2 elosztása a következővel: -2.

$$u=-1$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$u=-2 u=-1$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(u+1\right)^{2}).

$$u^{2}+2u+1=2u^{2}+5u+3$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2u^{2}.

$$u^{2}+2u+1-2u^{2}=5u+3$$

Összevonjuk a következőket: u^{2} és -2u^{2}. Az eredmény -u^{2}.

$$-u^{2}+2u+1=5u+3$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 5u.

$$-u^{2}+2u+1-5u=3$$

Összevonjuk a következőket: 2u és -5u. Az eredmény -3u.

$$-u^{2}-3u+1=3$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 1.

$$-u^{2}-3u=3-1$$

Kivonjuk a(z) 1 értékből a(z) 3 értéket. Az eredmény 2.

$$-u^{2}-3u=2$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -1.

$$\frac{-u^{2}-3u}{-1}=\frac{2}{-1}$$

A(z) -1 értékkel való osztás eltünteti a(z) -1 értékkel való szorzást.

$$u^{2}+\left(-\frac{3}{-1}\right)u=\frac{2}{-1}$$

-3 elosztása a következővel: -1.

$$u^{2}+3u=\frac{2}{-1}$$

2 elosztása a következővel: -1.

$$u^{2}+3u=-2$$

Elosztjuk a(z) 3 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{3}{2}. Ezután hozzáadjuk \frac{3}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$u^{2}+3u+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

A(z) \frac{3}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$u^{2}+3u+\frac{9}{4}=-2+\frac{9}{4}$$

Összeadjuk a következőket: -2 és \frac{9}{4}.

$$u^{2}+3u+\frac{9}{4}=\frac{1}{4}$$

A(z) u^{2}+3u+\frac{9}{4} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(u+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(u+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$u+\frac{3}{2}=\frac{1}{2} u+\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{3}{2}.

$$u=-1 u=-2$$