sqrt{x}=x-1 megoldása

$$\sqrt{ x } =x-1$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{\sqrt{5} + 3}{2} \approx 2,618033989$$

A megoldás lépései

Az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emeljük.

$$\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(x-1\right)^{2}$$

Kiszámoljuk a(z) \sqrt{x} érték 2. hatványát. Az eredmény x.

$$x=\left(x-1\right)^{2}$$

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x-1\right)^{2}).

$$x=x^{2}-2x+1$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: x^{2}.

$$x-x^{2}=-2x+1$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 2x.

$$x-x^{2}+2x=1$$

Összevonjuk a következőket: x és 2x. Az eredmény 3x.

$$3x-x^{2}=1$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 1.

$$3x-x^{2}-1=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-x^{2}+3x-1=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -1 értéket a-ba, a(z) 3 értéket b-be és a(z) -1 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 4 és -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4}}{2\left(-1\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 9 és -4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -3 és \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{-2}$$

-3+\sqrt{5} elosztása a következővel: -2.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2}). ± előjele negatív. \sqrt{5} kivonása a következőből: -3.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-3}{-2}$$

-3-\sqrt{5} elosztása a következővel: -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

Behelyettesítjük a(z) \frac{3-\sqrt{5}}{2} értéket x helyére a(z) \sqrt{x}=x-1 egyenletben.

$$\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}-1$$

Egyszerűsítünk. Az x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} értéke nem felel meg az egyenletbe, mert a bal és a jobb oldali két oldal az egyenletjel.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

Behelyettesítjük a(z) \frac{\sqrt{5}+3}{2} értéket x helyére a(z) \sqrt{x}=x-1 egyenletben.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}=\frac{\sqrt{5}+3}{2}-1$$

Egyszerűsítünk. A(z) x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} érték kielégíti az egyenletet.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

A(z) \sqrt{x}=x-1 egyenletnek egyedi megoldása van.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$