sqrt{2x-3}=2+sqrt{x-5} megoldása

$$\sqrt{ 2x-3 } = 2+ \sqrt{ x-5 }$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=14$$

$$x=6$$

A megoldás lépései

Az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emeljük.

$$\left(\sqrt{2x-3}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Kiszámoljuk a(z) \sqrt{2x-3} érték 2. hatványát. Az eredmény 2x-3.

$$2x-3=\left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}).

$$2x-3=4+4\sqrt{x-5}+\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Kiszámoljuk a(z) \sqrt{x-5} érték 2. hatványát. Az eredmény x-5.

$$2x-3=4+4\sqrt{x-5}+x-5$$

Kivonjuk a(z) 5 értékből a(z) 4 értéket. Az eredmény -1.

$$2x-3=-1+4\sqrt{x-5}+x$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: -1+x.

$$2x-3-\left(-1+x\right)=4\sqrt{x-5}$$

-1+x ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$2x-3+1-x=4\sqrt{x-5}$$

Összeadjuk a következőket: -3 és 1. Az eredmény -2.

$$2x-2-x=4\sqrt{x-5}$$

Összevonjuk a következőket: 2x és -x. Az eredmény x.

$$x-2=4\sqrt{x-5}$$

Az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emeljük.

$$\left(x-2\right)^{2}=\left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x-2\right)^{2}).

$$x^{2}-4x+4=\left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Kifejtjük a következőt: \left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4=4^{2}\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Kiszámoljuk a(z) 4 érték 2. hatványát. Az eredmény 16.

$$x^{2}-4x+4=16\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Kiszámoljuk a(z) \sqrt{x-5} érték 2. hatványát. Az eredmény x-5.

$$x^{2}-4x+4=16\left(x-5\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 16 és x-5.

$$x^{2}-4x+4=16x-80$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 16x.

$$x^{2}-4x+4-16x=-80$$

Összevonjuk a következőket: -4x és -16x. Az eredmény -20x.

$$x^{2}-20x+4=-80$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 80.

$$x^{2}-20x+4+80=0$$

Összeadjuk a következőket: 4 és 80. Az eredmény 84.

$$x^{2}-20x+84=0$$

Az egyenlet megoldásához x^{2}-20x+84 a képlet használatával x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-20 ab=84$$

Mivel ab pozitív, a és b azonos aláírására. Mivel a a+b negatív, a és b negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 84.

$$-1,-84 -2,-42 -3,-28 -4,-21 -6,-14 -7,-12$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1-84=-85 -2-42=-44 -3-28=-31 -4-21=-25 -6-14=-20 -7-12=-19$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -20.

$$a=-14 b=-6$$

Az eredményül kapott értékeket használva átírjuk a tényezőkre bontott \left(x+a\right)\left(x+b\right) kifejezést.

$$\left(x-14\right)\left(x-6\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-14=0 és a x-6=0.

$$x=14 x=6$$

Behelyettesítjük a(z) 14 értéket x helyére a(z) \sqrt{2x-3}=2+\sqrt{x-5} egyenletben.

$$\sqrt{2\times 14-3}=2+\sqrt{14-5}$$

Egyszerűsítünk. A(z) x=14 érték kielégíti az egyenletet.

$$5=5$$

Behelyettesítjük a(z) 6 értéket x helyére a(z) \sqrt{2x-3}=2+\sqrt{x-5} egyenletben.

$$\sqrt{2\times 6-3}=2+\sqrt{6-5}$$

Egyszerűsítünk. A(z) x=6 érték kielégíti az egyenletet.

$$3=3$$

A(z) \sqrt{2x-3}=\sqrt{x-5}+2 egyenlet összes megoldásának felsorolása

$$x=14 x=6$$