sqrt{1-x}+sqrt{1+x}=sqrt{2} megoldása

$$\sqrt{ 1-x } + \sqrt{ 1+x } = \sqrt{ 2 }$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=1$$

$$x=-1$$

A megoldás lépései

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \sqrt{1+x}.

$$\sqrt{1-x}=\sqrt{2}-\sqrt{1+x}$$

Az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emeljük.

$$\left(\sqrt{1-x}\right)^{2}=\left(\sqrt{2}-\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Kiszámoljuk a(z) \sqrt{1-x} érték 2. hatványát. Az eredmény 1-x.

$$1-x=\left(\sqrt{2}-\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(\sqrt{2}-\sqrt{1+x}\right)^{2}).

$$1-x=\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

\sqrt{2} négyzete 2.

$$1-x=2-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Kiszámoljuk a(z) \sqrt{1+x} érték 2. hatványát. Az eredmény 1+x.

$$1-x=2-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+1+x$$

Összeadjuk a következőket: 2 és 1. Az eredmény 3.

$$1-x=3-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+x$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 3+x.

$$1-x-\left(3+x\right)=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

3+x ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$1-x-3-x=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

Kivonjuk a(z) 3 értékből a(z) 1 értéket. Az eredmény -2.

$$-2-x-x=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

Összevonjuk a következőket: -x és -x. Az eredmény -2x.

$$-2-2x=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

Az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emeljük.

$$\left(-2-2x\right)^{2}=\left(-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(-2-2x\right)^{2}).

$$4+8x+4x^{2}=\left(-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Kifejtjük a következőt: \left(-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}\right)^{2}.

$$4+8x+4x^{2}=\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Kiszámoljuk a(z) -2 érték 2. hatványát. Az eredmény 4.

$$4+8x+4x^{2}=4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

\sqrt{2} négyzete 2.

$$4+8x+4x^{2}=4\times 2\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: 4 és 2. Az eredmény 8.

$$4+8x+4x^{2}=8\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Kiszámoljuk a(z) \sqrt{1+x} érték 2. hatványát. Az eredmény 1+x.

$$4+8x+4x^{2}=8\left(1+x\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 8 és 1+x.

$$4+8x+4x^{2}=8+8x$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 8.

$$4+8x+4x^{2}-8=8x$$

Kivonjuk a(z) 8 értékből a(z) 4 értéket. Az eredmény -4.

$$-4+8x+4x^{2}=8x$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 8x.

$$-4+8x+4x^{2}-8x=0$$

Összevonjuk a következőket: 8x és -8x. Az eredmény 0.

$$-4+4x^{2}=0$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$-1+x^{2}=0$$

Vegyük a következőt: -1+x^{2}. Átírjuk az értéket (-1+x^{2}) x^{2}-1^{2} alakban. A négyzetek különbsége a következő szabály használatával bontható tényezőkre: a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right).

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-1=0 és a x+1=0.

$$x=1 x=-1$$

Behelyettesítjük a(z) 1 értéket x helyére a(z) \sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=\sqrt{2} egyenletben.

$$\sqrt{1-1}+\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$$

Egyszerűsítünk. A(z) x=1 érték kielégíti az egyenletet.

$$2^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{2}}$$

Behelyettesítjük a(z) -1 értéket x helyére a(z) \sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=\sqrt{2} egyenletben.

$$\sqrt{1-\left(-1\right)}+\sqrt{1-1}=\sqrt{2}$$

Egyszerűsítünk. A(z) x=-1 érték kielégíti az egyenletet.

$$2^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{2}}$$

A(z) \sqrt{1-x}=-\sqrt{x+1}+\sqrt{2} egyenlet összes megoldásának felsorolása

$$x=1 x=-1$$