sqrt{1div2+1div4+1div8+1div16+1div2x}=x megoldása

$$\sqrt{ 1 \div 2+1 \div 4+1 \div 8+1 \div 16+1 \div 2x } =x$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

A megoldás lépései

Az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emeljük.

$$\left(\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

2 és 4 legkisebb közös többszöröse 4. Átalakítjuk a számokat (\frac{1}{2} és \frac{1}{4}) törtekké, amelyek nevezője 4.

$$\left(\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Mivel \frac{2}{4} és \frac{1}{4} nevezője ugyanaz, az összeadásukhoz összeadjuk a számlálójukat.

$$\left(\sqrt{\frac{2+1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Összeadjuk a következőket: 2 és 1. Az eredmény 3.

$$\left(\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

4 és 8 legkisebb közös többszöröse 8. Átalakítjuk a számokat (\frac{3}{4} és \frac{1}{8}) törtekké, amelyek nevezője 8.

$$\left(\sqrt{\frac{6}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Mivel \frac{6}{8} és \frac{1}{8} nevezője ugyanaz, az összeadásukhoz összeadjuk a számlálójukat.

$$\left(\sqrt{\frac{6+1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Összeadjuk a következőket: 6 és 1. Az eredmény 7.

$$\left(\sqrt{\frac{7}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

8 és 16 legkisebb közös többszöröse 16. Átalakítjuk a számokat (\frac{7}{8} és \frac{1}{16}) törtekké, amelyek nevezője 16.

$$\left(\sqrt{\frac{14}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Mivel \frac{14}{16} és \frac{1}{16} nevezője ugyanaz, az összeadásukhoz összeadjuk a számlálójukat.

$$\left(\sqrt{\frac{14+1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Összeadjuk a következőket: 14 és 1. Az eredmény 15.

$$\left(\sqrt{\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Kiszámoljuk a(z) \sqrt{\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x} érték 2. hatványát. Az eredmény \frac{15}{16}+\frac{1}{2}x.

$$\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x=x^{2}$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: x^{2}.

$$\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x-x^{2}=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{15}{16}=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -1 értéket a-ba, a(z) \frac{1}{2} értéket b-be és a(z) \frac{15}{16} értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-4\left(-1\right)\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

A(z) \frac{1}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}-4\left(-1\right)\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -1.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}+4\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 4 és \frac{15}{16}.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1+15}{4}}}{2\left(-1\right)}$$

\frac{1}{4} és \frac{15}{4} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{4}}{2\left(-1\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 4.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -1.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -\frac{1}{2} és 2.

$$x=\frac{\frac{3}{2}}{-2}$$

\frac{3}{2} elosztása a következővel: -2.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2}). ± előjele negatív. 2 kivonása a következőből: -\frac{1}{2}.

$$x=-\frac{\frac{5}{2}}{-2}$$

-\frac{5}{2} elosztása a következővel: -2.

$$x=\frac{5}{4}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=-\frac{3}{4} x=\frac{5}{4}$$

Behelyettesítjük a(z) -\frac{3}{4} értéket x helyére a(z) \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}=x egyenletben.

$$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)}=-\frac{3}{4}$$

Egyszerűsítünk. Az x=-\frac{3}{4} értéke nem felel meg az egyenletbe, mert a bal és a jobb oldali két oldal az egyenletjel.

$$\frac{3}{4}=-\frac{3}{4}$$

Behelyettesítjük a(z) \frac{5}{4} értéket x helyére a(z) \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}=x egyenletben.

$$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\times \frac{5}{4}}=\frac{5}{4}$$

Egyszerűsítünk. A(z) x=\frac{5}{4} érték kielégíti az egyenletet.

$$\frac{5}{4}=\frac{5}{4}$$

A(z) \sqrt{\frac{x}{2}+\frac{15}{16}}=x egyenletnek egyedi megoldása van.

$$x=\frac{5}{4}$$