sqrt{x^2-1}=sqrt{2x+1} megoldása

$$\sqrt { x ^ { 2 } - 1 } = \sqrt { 2 x + 1 }$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2,732050808$$

$$x=1-\sqrt{3}\approx -0,732050808$$

A megoldás lépései

Az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emeljük.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Kiszámoljuk a(z) \sqrt{x^{2}-1} érték 2. hatványát. Az eredmény x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Kiszámoljuk a(z) \sqrt{2x+1} érték 2. hatványát. Az eredmény 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2x.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 1.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Kivonjuk a(z) 1 értékből a(z) -1 értéket. Az eredmény -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$x^{2}-2x-2=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -2 értéket b-be és a(z) -2 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 4 és 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

-2 ellentettje 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 2 és 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

2+2\sqrt{3} elosztása a következővel: 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}). ± előjele negatív. 2\sqrt{3} kivonása a következőből: 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

2-2\sqrt{3} elosztása a következővel: 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Behelyettesítjük a(z) \sqrt{3}+1 értéket x helyére a(z) \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1} egyenletben.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Egyszerűsítünk. A(z) x=\sqrt{3}+1 érték kielégíti az egyenletet.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Behelyettesítjük a(z) 1-\sqrt{3} értéket x helyére a(z) \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1} egyenletben.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

Egyszerűsítünk. A(z) x=1-\sqrt{3} érték kielégíti az egyenletet.

$$i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}=i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}$$

A(z) \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1} egyenlet összes megoldásának felsorolása

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2,732050808$$

A megoldás lépései

Az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emeljük.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Kiszámoljuk a(z) \sqrt{x^{2}-1} érték 2. hatványát. Az eredmény x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Kiszámoljuk a(z) \sqrt{2x+1} érték 2. hatványát. Az eredmény 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2x.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 1.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Kivonjuk a(z) 1 értékből a(z) -1 értéket. Az eredmény -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$x^{2}-2x-2=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -2 értéket b-be és a(z) -2 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 4 és 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

-2 ellentettje 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 2 és 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

2+2\sqrt{3} elosztása a következővel: 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}). ± előjele negatív. 2\sqrt{3} kivonása a következőből: 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

2-2\sqrt{3} elosztása a következővel: 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Behelyettesítjük a(z) \sqrt{3}+1 értéket x helyére a(z) \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1} egyenletben.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Egyszerűsítünk. A(z) x=\sqrt{3}+1 érték kielégíti az egyenletet.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Behelyettesítjük a(z) 1-\sqrt{3} értéket x helyére a(z) \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1} egyenletben. A kifejezés \sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1} nincs definiálva, mert a radicand nem lehet negatív.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

A(z) \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1} egyenletnek egyedi megoldása van.

$$x=\sqrt{3}+1$$