sqrt{x+5}-sqrt{3x-2}=1 megoldása

$$\sqrt { x + 5 } - \sqrt { 3 x - 2 } = 1$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{9 - \sqrt{37}}{2} \approx 1,458618735$$

A megoldás lépései

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: -\sqrt{3x-2}.

$$\sqrt{x+5}=1+\sqrt{3x-2}$$

Az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emeljük.

$$\left(\sqrt{x+5}\right)^{2}=\left(1+\sqrt{3x-2}\right)^{2}$$

Kiszámoljuk a(z) \sqrt{x+5} érték 2. hatványát. Az eredmény x+5.

$$x+5=\left(1+\sqrt{3x-2}\right)^{2}$$

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(1+\sqrt{3x-2}\right)^{2}).

$$x+5=1+2\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}$$

Kiszámoljuk a(z) \sqrt{3x-2} érték 2. hatványát. Az eredmény 3x-2.

$$x+5=1+2\sqrt{3x-2}+3x-2$$

Kivonjuk a(z) 2 értékből a(z) 1 értéket. Az eredmény -1.

$$x+5=-1+2\sqrt{3x-2}+3x$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: -1+3x.

$$x+5-\left(-1+3x\right)=2\sqrt{3x-2}$$

-1+3x ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$x+5+1-3x=2\sqrt{3x-2}$$

Összeadjuk a következőket: 5 és 1. Az eredmény 6.

$$x+6-3x=2\sqrt{3x-2}$$

Összevonjuk a következőket: x és -3x. Az eredmény -2x.

$$-2x+6=2\sqrt{3x-2}$$

Az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emeljük.

$$\left(-2x+6\right)^{2}=\left(2\sqrt{3x-2}\right)^{2}$$

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(-2x+6\right)^{2}).

$$4x^{2}-24x+36=\left(2\sqrt{3x-2}\right)^{2}$$

Kifejtjük a következőt: \left(2\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$4x^{2}-24x+36=2^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}$$

Kiszámoljuk a(z) 2 érték 2. hatványát. Az eredmény 4.

$$4x^{2}-24x+36=4\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}$$

Kiszámoljuk a(z) \sqrt{3x-2} érték 2. hatványát. Az eredmény 3x-2.

$$4x^{2}-24x+36=4\left(3x-2\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 4 és 3x-2.

$$4x^{2}-24x+36=12x-8$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 12x.

$$4x^{2}-24x+36-12x=-8$$

Összevonjuk a következőket: -24x és -12x. Az eredmény -36x.

$$4x^{2}-36x+36=-8$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 8.

$$4x^{2}-36x+36+8=0$$

Összeadjuk a következőket: 36 és 8. Az eredmény 44.

$$4x^{2}-36x+44=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 4 értéket a-ba, a(z) -36 értéket b-be és a(z) 44 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{\left(-36\right)^{2}-4\times 4\times 44}}{2\times 4}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -36.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-4\times 4\times 44}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 4.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-16\times 44}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -16 és 44.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-704}}{2\times 4}$$

Összeadjuk a következőket: 1296 és -704.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{592}}{2\times 4}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 592.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±4\sqrt{37}}{2\times 4}$$

-36 ellentettje 36.

$$x=\frac{36±4\sqrt{37}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 4.

$$x=\frac{36±4\sqrt{37}}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{36±4\sqrt{37}}{8}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 36 és 4\sqrt{37}.

$$x=\frac{4\sqrt{37}+36}{8}$$

36+4\sqrt{37} elosztása a következővel: 8.

$$x=\frac{\sqrt{37}+9}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{36±4\sqrt{37}}{8}). ± előjele negatív. 4\sqrt{37} kivonása a következőből: 36.

$$x=\frac{36-4\sqrt{37}}{8}$$

36-4\sqrt{37} elosztása a következővel: 8.

$$x=\frac{9-\sqrt{37}}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{37}+9}{2} x=\frac{9-\sqrt{37}}{2}$$

Behelyettesítjük a(z) \frac{\sqrt{37}+9}{2} értéket x helyére a(z) \sqrt{x+5}-\sqrt{3x-2}=1 egyenletben.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{37}+9}{2}+5}-\sqrt{3\times \frac{\sqrt{37}+9}{2}-2}=1$$

Egyszerűsítünk. Az x=\frac{\sqrt{37}+9}{2} értéke nem felel meg az egyenletbe, mert a bal és a jobb oldali két oldal az egyenletjel.

$$-1=1$$

Behelyettesítjük a(z) \frac{9-\sqrt{37}}{2} értéket x helyére a(z) \sqrt{x+5}-\sqrt{3x-2}=1 egyenletben.

$$\sqrt{\frac{9-\sqrt{37}}{2}+5}-\sqrt{3\times \frac{9-\sqrt{37}}{2}-2}=1$$

Egyszerűsítünk. A(z) x=\frac{9-\sqrt{37}}{2} érték kielégíti az egyenletet.

$$1=1$$

A(z) \sqrt{x+5}=\sqrt{3x-2}+1 egyenletnek egyedi megoldása van.

$$x=\frac{9-\sqrt{37}}{2}$$