sqrt{x+3}-sqrt{3x-2}=1 megoldása

$$\sqrt { x + 3 } - \sqrt { 3 x - 2 } = 1$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=1$$

A megoldás lépései

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: -\sqrt{3x-2}.

$$\sqrt{x+3}=1+\sqrt{3x-2}$$

Az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emeljük.

$$\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}=\left(1+\sqrt{3x-2}\right)^{2}$$

Kiszámoljuk a(z) \sqrt{x+3} érték 2. hatványát. Az eredmény x+3.

$$x+3=\left(1+\sqrt{3x-2}\right)^{2}$$

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(1+\sqrt{3x-2}\right)^{2}).

$$x+3=1+2\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}$$

Kiszámoljuk a(z) \sqrt{3x-2} érték 2. hatványát. Az eredmény 3x-2.

$$x+3=1+2\sqrt{3x-2}+3x-2$$

Kivonjuk a(z) 2 értékből a(z) 1 értéket. Az eredmény -1.

$$x+3=-1+2\sqrt{3x-2}+3x$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: -1+3x.

$$x+3-\left(-1+3x\right)=2\sqrt{3x-2}$$

-1+3x ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$x+3+1-3x=2\sqrt{3x-2}$$

Összeadjuk a következőket: 3 és 1. Az eredmény 4.

$$x+4-3x=2\sqrt{3x-2}$$

Összevonjuk a következőket: x és -3x. Az eredmény -2x.

$$-2x+4=2\sqrt{3x-2}$$

Az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emeljük.

$$\left(-2x+4\right)^{2}=\left(2\sqrt{3x-2}\right)^{2}$$

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(-2x+4\right)^{2}).

$$4x^{2}-16x+16=\left(2\sqrt{3x-2}\right)^{2}$$

Kifejtjük a következőt: \left(2\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$4x^{2}-16x+16=2^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}$$

Kiszámoljuk a(z) 2 érték 2. hatványát. Az eredmény 4.

$$4x^{2}-16x+16=4\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}$$

Kiszámoljuk a(z) \sqrt{3x-2} érték 2. hatványát. Az eredmény 3x-2.

$$4x^{2}-16x+16=4\left(3x-2\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 4 és 3x-2.

$$4x^{2}-16x+16=12x-8$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 12x.

$$4x^{2}-16x+16-12x=-8$$

Összevonjuk a következőket: -16x és -12x. Az eredmény -28x.

$$4x^{2}-28x+16=-8$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 8.

$$4x^{2}-28x+16+8=0$$

Összeadjuk a következőket: 16 és 8. Az eredmény 24.

$$4x^{2}-28x+24=0$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$x^{2}-7x+6=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk x^{2}+ax+bx+6 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-7 ab=1\times 6=6$$

Mivel ab pozitív, a és b azonos aláírására. Mivel a a+b negatív, a és b negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 6.

$$-1,-6 -2,-3$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1-6=-7 -2-3=-5$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -7.

$$a=-6 b=-1$$

Átírjuk az értéket (x^{2}-7x+6) \left(x^{2}-6x\right)+\left(-x+6\right) alakban.

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(-x+6\right)$$

A x a második csoportban lévő első és -1 faktort.

$$x\left(x-6\right)-\left(x-6\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-6 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-6\right)\left(x-1\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-6=0 és a x-1=0.

$$x=6 x=1$$

Behelyettesítjük a(z) 6 értéket x helyére a(z) \sqrt{x+3}-\sqrt{3x-2}=1 egyenletben.

$$\sqrt{6+3}-\sqrt{3\times 6-2}=1$$

Egyszerűsítünk. Az x=6 értéke nem felel meg az egyenletbe, mert a bal és a jobb oldali két oldal az egyenletjel.

$$-1=1$$

Behelyettesítjük a(z) 1 értéket x helyére a(z) \sqrt{x+3}-\sqrt{3x-2}=1 egyenletben.

$$\sqrt{1+3}-\sqrt{3\times 1-2}=1$$

Egyszerűsítünk. A(z) x=1 érték kielégíti az egyenletet.

$$1=1$$

A(z) \sqrt{x+3}=\sqrt{3x-2}+1 egyenletnek egyedi megoldása van.

$$x=1$$