sqrt{5x-1}-sqrt{3x-2}=sqrt{x-1} megoldása

$$\sqrt { 5 x - 1 } - \sqrt { 3 x - 2 } = \sqrt { x - 1 }$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=2$$

A megoldás lépései

Az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emeljük.

$$\left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}).

$$\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Kiszámoljuk a(z) \sqrt{5x-1} érték 2. hatványát. Az eredmény 5x-1.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Kiszámoljuk a(z) \sqrt{3x-2} érték 2. hatványát. Az eredmény 3x-2.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+3x-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Összevonjuk a következőket: 5x és 3x. Az eredmény 8x.

$$8x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Kivonjuk a(z) 2 értékből a(z) -1 értéket. Az eredmény -3.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Kiszámoljuk a(z) \sqrt{x-1} érték 2. hatványát. Az eredmény x-1.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 8x-3.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-\left(8x-3\right)$$

8x-3 ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-8x+3$$

Összevonjuk a következőket: x és -8x. Az eredmény -7x.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x-1+3$$

Összeadjuk a következőket: -1 és 3. Az eredmény 2.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x+2$$

Az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emeljük.

$$\left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Kifejtjük a következőt: \left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Kiszámoljuk a(z) -2 érték 2. hatványát. Az eredmény 4.

$$4\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Kiszámoljuk a(z) \sqrt{5x-1} érték 2. hatványát. Az eredmény 5x-1.

$$4\left(5x-1\right)\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Kiszámoljuk a(z) \sqrt{3x-2} érték 2. hatványát. Az eredmény 3x-2.

$$4\left(5x-1\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 4 és 5x-1.

$$\left(20x-4\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Felhasználjuk a disztributivitást úgy, hogy a kifejezés (20x-4) minden tagját megszorozzuk a másik kifejezés (3x-2) minden tagjával.

$$60x^{2}-40x-12x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Összevonjuk a következőket: -40x és -12x. Az eredmény -52x.

$$60x^{2}-52x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(-7x+2\right)^{2}).

$$60x^{2}-52x+8=49x^{2}-28x+4$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 49x^{2}.

$$60x^{2}-52x+8-49x^{2}=-28x+4$$

Összevonjuk a következőket: 60x^{2} és -49x^{2}. Az eredmény 11x^{2}.

$$11x^{2}-52x+8=-28x+4$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 28x.

$$11x^{2}-52x+8+28x=4$$

Összevonjuk a következőket: -52x és 28x. Az eredmény -24x.

$$11x^{2}-24x+8=4$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 4.

$$11x^{2}-24x+8-4=0$$

Kivonjuk a(z) 4 értékből a(z) 8 értéket. Az eredmény 4.

$$11x^{2}-24x+4=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 11x^{2}+ax+bx+4 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-24 ab=11\times 4=44$$

Mivel ab pozitív, a és b azonos aláírására. Mivel a a+b negatív, a és b negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 44.

$$-1,-44 -2,-22 -4,-11$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1-44=-45 -2-22=-24 -4-11=-15$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -24.

$$a=-22 b=-2$$

Átírjuk az értéket (11x^{2}-24x+4) \left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right) alakban.

$$\left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right)$$

A 11x a második csoportban lévő első és -2 faktort.

$$11x\left(x-2\right)-2\left(x-2\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-2 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-2\right)\left(11x-2\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-2=0 és a 11x-2=0.

$$x=2 x=\frac{2}{11}$$

Behelyettesítjük a(z) \frac{2}{11} értéket x helyére a(z) \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1} egyenletben. A kifejezés \sqrt{5\times \frac{2}{11}-1} nincs definiálva, mert a radicand nem lehet negatív.

$$\sqrt{5\times \frac{2}{11}-1}-\sqrt{3\times \frac{2}{11}-2}=\sqrt{\frac{2}{11}-1}$$

Behelyettesítjük a(z) 2 értéket x helyére a(z) \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1} egyenletben.

$$\sqrt{5\times 2-1}-\sqrt{3\times 2-2}=\sqrt{2-1}$$

Egyszerűsítünk. A(z) x=2 érték kielégíti az egyenletet.

$$1=1$$

A(z) \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1} egyenletnek egyedi megoldása van.

$$x=2$$