sinalpha megoldása

$$\sin \alpha$$

Differenciálás α szerint

$$\cos(\alpha )$$

Lépések a definíció szerinti deriválás használatával

Egy f\left(x\right) függvény deriváltja az \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} kifejezés határértéke, ha h tart 0-hoz, feltéve, hogy létezik határérték.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha }(\sin(\alpha ))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(\alpha +h)-\sin(\alpha )}{h}\right)$$

Két szám összegének a szinuszára vonatkozó azonosságot használjuk.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h+\alpha )-\sin(\alpha )}{h}$$

Kiemeljük a következőt: \sin(\alpha ).

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(\alpha )\left(\cos(h)-1\right)+\cos(\alpha )\sin(h)}{h}$$

Átalakítjuk a határértéket.

$$\left(\lim_{h\to 0}\sin(\alpha )\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\left(\lim_{h\to 0}\cos(\alpha )\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

A határérték (h tart a következőhöz: 0) kiszámolásához felhasználjuk, hogy \alpha konstans.

$$\sin(\alpha )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(\alpha )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

A határérték (\lim_{\alpha \to 0}\frac{\sin(\alpha )}{\alpha }) 1.

$$\sin(\alpha )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(\alpha )$$

A határérték (\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}) kiszámításához először megszorozzuk a számlálót és a nevezőt a következővel: \cos(h)+1.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: \cos(h)+1 és \cos(h)-1.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

A pitagoraszi azonosságot használjuk.

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Átalakítjuk a határértéket.

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

A határérték (\lim_{\alpha \to 0}\frac{\sin(\alpha )}{\alpha }) 1.

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Felhasználjuk, hogy \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} folytonos a(z) 0 pontban.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

Behelyettesítjük a(z) 0 értéket a(z) \sin(\alpha )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(\alpha ) kifejezésbe.

$$\cos(\alpha )$$

Kiértékelés

$$\sin(\alpha )$$