quad15x^2+23x-28=0 megoldása

$$\quad 15 x ^ { 2 } + 23 x - 28 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2,333333333$$

$$x=\frac{4}{5}=0,8$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 15x^{2}+ax+bx-28 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=23 ab=15\left(-28\right)=-420$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a negatív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -420.

$$-1,420 -2,210 -3,140 -4,105 -5,84 -6,70 -7,60 -10,42 -12,35 -14,30 -15,28 -20,21$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+420=419 -2+210=208 -3+140=137 -4+105=101 -5+84=79 -6+70=64 -7+60=53 -10+42=32 -12+35=23 -14+30=16 -15+28=13 -20+21=1$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 23.

$$a=-12 b=35$$

Átírjuk az értéket (15x^{2}+23x-28) \left(15x^{2}-12x\right)+\left(35x-28\right) alakban.

$$\left(15x^{2}-12x\right)+\left(35x-28\right)$$

A 3x a második csoportban lévő első és 7 faktort.

$$3x\left(5x-4\right)+7\left(5x-4\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 5x-4 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(5x-4\right)\left(3x+7\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 5x-4=0 és a 3x+7=0.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{7}{3}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$15x^{2}+23x-28=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 15 értéket a-ba, a(z) 23 értéket b-be és a(z) -28 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-23±\sqrt{23^{2}-4\times 15\left(-28\right)}}{2\times 15}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 23.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-4\times 15\left(-28\right)}}{2\times 15}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 15.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-60\left(-28\right)}}{2\times 15}$$

Összeszorozzuk a következőket: -60 és -28.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529+1680}}{2\times 15}$$

Összeadjuk a következőket: 529 és 1680.

$$x=\frac{-23±\sqrt{2209}}{2\times 15}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 2209.

$$x=\frac{-23±47}{2\times 15}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 15.

$$x=\frac{-23±47}{30}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-23±47}{30}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -23 és 47.

$$x=\frac{24}{30}$$

A törtet (\frac{24}{30}) leegyszerűsítjük 6 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{4}{5}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-23±47}{30}). ± előjele negatív. 47 kivonása a következőből: -23.

$$x=-\frac{70}{30}$$

A törtet (\frac{-70}{30}) leegyszerűsítjük 10 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{7}{3}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$15x^{2}+23x-28=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 28.

$$15x^{2}+23x-28-\left(-28\right)=-\left(-28\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -28 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$15x^{2}+23x=-\left(-28\right)$$

-28 kivonása a következőből: 0.

$$15x^{2}+23x=28$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 15.

$$\frac{15x^{2}+23x}{15}=\frac{28}{15}$$

A(z) 15 értékkel való osztás eltünteti a(z) 15 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{23}{15}x=\frac{28}{15}$$

Elosztjuk a(z) \frac{23}{15} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{23}{30}. Ezután hozzáadjuk \frac{23}{30} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{23}{15}x+\left(\frac{23}{30}\right)^{2}=\frac{28}{15}+\left(\frac{23}{30}\right)^{2}$$

A(z) \frac{23}{30} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{23}{15}x+\frac{529}{900}=\frac{28}{15}+\frac{529}{900}$$

\frac{28}{15} és \frac{529}{900} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{23}{15}x+\frac{529}{900}=\frac{2209}{900}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{23}{15}x+\frac{529}{900}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{23}{30}\right)^{2}=\frac{2209}{900}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{23}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{900}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{23}{30}=\frac{47}{30} x+\frac{23}{30}=-\frac{47}{30}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{23}{30}.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{7}{3}$$