{x=5-y}{7x+3y=47} megoldása

$$\left. \begin{cases} { x = 5-y } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x=8$$

$$y=-3$$

Lépések helyettesítés használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: y.

$$x+y=5$$

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$x+y=5,7x+3y=47$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$x+y=5$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: y.

$$x=-y+5$$

Behelyettesítjük a(z) -y+5 értéket x helyére a másik, 7x+3y=47 egyenletben.

$$7\left(-y+5\right)+3y=47$$

Összeszorozzuk a következőket: 7 és -y+5.

$$-7y+35+3y=47$$

Összeadjuk a következőket: -7y és 3y.

$$-4y+35=47$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 35.

$$-4y=12$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -4.

$$y=-3$$

A(z) x=-y+5 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: -3. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=-\left(-3\right)+5$$

Összeszorozzuk a következőket: -1 és -3.

$$x=3+5$$

Összeadjuk a következőket: 5 és 3.

$$x=8$$

A rendszer megoldva.

$$x=8,y=-3$$

Lépések mátrixok használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: y.

$$x+y=5$$

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$x+y=5,7x+3y=47$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Az \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2-es mátrix inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) mátrix, így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-7}&-\frac{1}{3-7}\\-\frac{7}{3-7}&\frac{1}{3-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{7}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 47\\\frac{7}{4}\times 5-\frac{1}{4}\times 47\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-3\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=8,y=-3$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: y.

$$x+y=5$$

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$x+y=5,7x+3y=47$$

x és 7x egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: 7, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 1.

$$7x+7y=7\times 5,7x+3y=47$$

Egyszerűsítünk.

$$7x+7y=35,7x+3y=47$$

7x+3y=47 kivonása a következőből: 7x+7y=35: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$7x-7x+7y-3y=35-47$$

Összeadjuk a következőket: 7x és -7x. 7x és -7x kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$7y-3y=35-47$$

Összeadjuk a következőket: 7y és -3y.

$$4y=35-47$$

Összeadjuk a következőket: 35 és -47.

$$4y=-12$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$y=-3$$

A(z) 7x+3y=47 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: -3. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$7x+3\left(-3\right)=47$$

Összeszorozzuk a következőket: 3 és -3.

$$7x-9=47$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 9.

$$7x=56$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 7.

$$x=8$$

A rendszer megoldva.

$$x=8,y=-3$$