{l}{x+2y=3(1+y)+1}{8-y=2(1-y)+3x} megoldása

$$\left. \begin{array}{l}{ x + 2 y = 3 ( 1 + y ) + 1 }\\{ 8 - y = 2 ( 1 - y ) + 3 x }\end{array} \right.$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x=1$$

$$y=-3$$

Lépések helyettesítés használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 3 és 1+y.

$$x+2y=3+3y+1$$

Összeadjuk a következőket: 3 és 1. Az eredmény 4.

$$x+2y=4+3y$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 3y.

$$x+2y-3y=4$$

Összevonjuk a következőket: 2y és -3y. Az eredmény -y.

$$x-y=4$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 2 és 1-y.

$$8-y=2-2y+3x$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 2y.

$$8-y+2y=2+3x$$

Összevonjuk a következőket: -y és 2y. Az eredmény y.

$$8+y=2+3x$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 3x.

$$8+y-3x=2$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 8.

$$y-3x=2-8$$

Kivonjuk a(z) 8 értékből a(z) 2 értéket. Az eredmény -6.

$$y-3x=-6$$

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$x-y=4$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: y.

$$x=y+4$$

Behelyettesítjük a(z) y+4 értéket x helyére a másik, -3x+y=-6 egyenletben.

$$-3\left(y+4\right)+y=-6$$

Összeszorozzuk a következőket: -3 és y+4.

$$-3y-12+y=-6$$

Összeadjuk a következőket: -3y és y.

$$-2y-12=-6$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 12.

$$-2y=6$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -2.

$$y=-3$$

A(z) x=y+4 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: -3. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=-3+4$$

Összeadjuk a következőket: 4 és -3.

$$x=1$$

A rendszer megoldva.

$$x=1,y=-3$$

Lépések mátrixok használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 3 és 1+y.

$$x+2y=3+3y+1$$

Összeadjuk a következőket: 3 és 1. Az eredmény 4.

$$x+2y=4+3y$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 3y.

$$x+2y-3y=4$$

Összevonjuk a következőket: 2y és -3y. Az eredmény -y.

$$x-y=4$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 2 és 1-y.

$$8-y=2-2y+3x$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 2y.

$$8-y+2y=2+3x$$

Összevonjuk a következőket: -y és 2y. Az eredmény y.

$$8+y=2+3x$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 3x.

$$8+y-3x=2$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 8.

$$y-3x=2-8$$

Kivonjuk a(z) 8 értékből a(z) 2 értéket. Az eredmény -6.

$$y-3x=-6$$

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Az \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2-es mátrix inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) mátrix, így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\\-\frac{3}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=1,y=-3$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 3 és 1+y.

$$x+2y=3+3y+1$$

Összeadjuk a következőket: 3 és 1. Az eredmény 4.

$$x+2y=4+3y$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 3y.

$$x+2y-3y=4$$

Összevonjuk a következőket: 2y és -3y. Az eredmény -y.

$$x-y=4$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 2 és 1-y.

$$8-y=2-2y+3x$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 2y.

$$8-y+2y=2+3x$$

Összevonjuk a következőket: -y és 2y. Az eredmény y.

$$8+y=2+3x$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 3x.

$$8+y-3x=2$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 8.

$$y-3x=2-8$$

Kivonjuk a(z) 8 értékből a(z) 2 értéket. Az eredmény -6.

$$y-3x=-6$$

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

x és -3x egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: -3, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 1.

$$-3x-3\left(-1\right)y=-3\times 4,-3x+y=-6$$

Egyszerűsítünk.

$$-3x+3y=-12,-3x+y=-6$$

-3x+y=-6 kivonása a következőből: -3x+3y=-12: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$-3x+3x+3y-y=-12+6$$

Összeadjuk a következőket: -3x és 3x. -3x és 3x kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$3y-y=-12+6$$

Összeadjuk a következőket: 3y és -y.

$$2y=-12+6$$

Összeadjuk a következőket: -12 és 6.

$$2y=-6$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$y=-3$$

A(z) -3x+y=-6 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: -3. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$-3x-3=-6$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 3.

$$-3x=-3$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -3.

$$x=1$$

A rendszer megoldva.

$$x=1,y=-3$$