{l}{5x-4y=-7}{-6x+8y=2} megoldása

$$\left. \begin{array}{l}{ 5 x - 4 y = - 7 }\\{ - 6 x + 8 y = 2 }\end{array} \right.$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x=-3$$

$$y=-2$$

Lépések helyettesítés használatával

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$5x-4y=-7$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 4y.

$$5x=4y-7$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y-7\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{5} és 4y-7.

$$x=\frac{4}{5}y-\frac{7}{5}$$

Behelyettesítjük a(z) \frac{4y-7}{5} értéket x helyére a másik, -6x+8y=2 egyenletben.

$$-6\left(\frac{4}{5}y-\frac{7}{5}\right)+8y=2$$

Összeszorozzuk a következőket: -6 és \frac{4y-7}{5}.

$$-\frac{24}{5}y+\frac{42}{5}+8y=2$$

Összeadjuk a következőket: -\frac{24y}{5} és 8y.

$$\frac{16}{5}y+\frac{42}{5}=2$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{42}{5}.

$$\frac{16}{5}y=-\frac{32}{5}$$

Az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk a következővel: \frac{16}{5}. Ez ugyanaz, mintha mindkét oldalt megszoroznánk a tört reciprokával.

$$y=-2$$

A(z) x=\frac{4}{5}y-\frac{7}{5} egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: -2. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=\frac{4}{5}\left(-2\right)-\frac{7}{5}$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{4}{5} és -2.

$$x=\frac{-8-7}{5}$$

-\frac{7}{5} és -\frac{8}{5} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x=-3$$

A rendszer megoldva.

$$x=-3,y=-2$$

Lépések mátrixok használatával

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Az \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2-es mátrix inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) mátrix, így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}\\-\frac{-6}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}&\frac{5}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{8}&\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-7\right)+\frac{1}{4}\times 2\\\frac{3}{8}\left(-7\right)+\frac{5}{16}\times 2\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=-3,y=-2$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

5x és -6x egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: -6, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 5.

$$-6\times 5x-6\left(-4\right)y=-6\left(-7\right),5\left(-6\right)x+5\times 8y=5\times 2$$

Egyszerűsítünk.

$$-30x+24y=42,-30x+40y=10$$

-30x+40y=10 kivonása a következőből: -30x+24y=42: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$-30x+30x+24y-40y=42-10$$

Összeadjuk a következőket: -30x és 30x. -30x és 30x kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$24y-40y=42-10$$

Összeadjuk a következőket: 24y és -40y.

$$-16y=42-10$$

Összeadjuk a következőket: 42 és -10.

$$-16y=32$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -16.

$$y=-2$$

A(z) -6x+8y=2 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: -2. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$-6x+8\left(-2\right)=2$$

Összeszorozzuk a következőket: 8 és -2.

$$-6x-16=2$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 16.

$$-6x=18$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -6.

$$x=-3$$

A rendszer megoldva.

$$x=-3,y=-2$$