{r}{2x+3y=10}{-3x+y=18} megoldása

$$\left. \begin{array} { r } { 2 x + 3 y = 10 } \\ { - 3 x + y = 18 } \end{array} \right.$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x=-4$$

$$y=6$$

Lépések helyettesítés használatával

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$2x+3y=10,-3x+y=18$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$2x+3y=10$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 3y.

$$2x=-3y+10$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+10\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{2} és -3y+10.

$$x=-\frac{3}{2}y+5$$

Behelyettesítjük a(z) -\frac{3y}{2}+5 értéket x helyére a másik, -3x+y=18 egyenletben.

$$-3\left(-\frac{3}{2}y+5\right)+y=18$$

Összeszorozzuk a következőket: -3 és -\frac{3y}{2}+5.

$$\frac{9}{2}y-15+y=18$$

Összeadjuk a következőket: \frac{9y}{2} és y.

$$\frac{11}{2}y-15=18$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 15.

$$\frac{11}{2}y=33$$

Az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk a következővel: \frac{11}{2}. Ez ugyanaz, mintha mindkét oldalt megszoroznánk a tört reciprokával.

$$y=6$$

A(z) x=-\frac{3}{2}y+5 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 6. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=-\frac{3}{2}\times 6+5$$

Összeszorozzuk a következőket: -\frac{3}{2} és 6.

$$x=-9+5$$

Összeadjuk a következőket: 5 és -9.

$$x=-4$$

A rendszer megoldva.

$$x=-4,y=6$$

Lépések mátrixok használatával

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$2x+3y=10,-3x+y=18$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Az \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2-es mátrix inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) mátrix, így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{2-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2-3\left(-3\right)}&\frac{2}{2-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&-\frac{3}{11}\\\frac{3}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 10-\frac{3}{11}\times 18\\\frac{3}{11}\times 10+\frac{2}{11}\times 18\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=-4,y=6$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$2x+3y=10,-3x+y=18$$

2x és -3x egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: -3, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 2.

$$-3\times 2x-3\times 3y=-3\times 10,2\left(-3\right)x+2y=2\times 18$$

Egyszerűsítünk.

$$-6x-9y=-30,-6x+2y=36$$

-6x+2y=36 kivonása a következőből: -6x-9y=-30: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$-6x+6x-9y-2y=-30-36$$

Összeadjuk a következőket: -6x és 6x. -6x és 6x kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$-9y-2y=-30-36$$

Összeadjuk a következőket: -9y és -2y.

$$-11y=-30-36$$

Összeadjuk a következőket: -30 és -36.

$$-11y=-66$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -11.

$$y=6$$

A(z) -3x+y=18 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 6. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$-3x+6=18$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 6.

$$-3x=12$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -3.

$$x=-4$$

A rendszer megoldva.

$$x=-4,y=6$$