{l}{y=-x}{y=2x+6} megoldása

$$\left. \begin{array} { l } { y = - x } \\ { y = 2 x + 6 } \end{array} \right.$$

Megoldás a(z) y, x változóra

$$x=-2$$

$$y=2$$

Lépések helyettesítés használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: x.

$$y+x=0$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2x.

$$y-2x=6$$

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$y+x=0,y-2x=6$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) y változót úgy, hogy a(z) y változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$y+x=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: x.

$$y=-x$$

Behelyettesítjük a(z) -x értéket y helyére a másik, y-2x=6 egyenletben.

$$-x-2x=6$$

Összeadjuk a következőket: -x és -2x.

$$-3x=6$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -3.

$$x=-2$$

A(z) y=-x egyenletben behelyettesítjük x helyére a következőt: -2. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) y változóra.

$$y=-\left(-2\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: -1 és -2.

$$y=2$$

A rendszer megoldva.

$$y=2,x=-2$$

Lépések mátrixok használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: x.

$$y+x=0$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2x.

$$y-2x=6$$

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$y+x=0,y-2x=6$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Az \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2-es mátrix inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) mátrix, így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-1}&-\frac{1}{-2-1}\\-\frac{1}{-2-1}&\frac{1}{-2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 6\\-\frac{1}{3}\times 6\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) y és x elemeket.

$$y=2,x=-2$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: x.

$$y+x=0$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2x.

$$y-2x=6$$

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$y+x=0,y-2x=6$$

y-2x=6 kivonása a következőből: y+x=0: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$y-y+x+2x=-6$$

Összeadjuk a következőket: y és -y. y és -y kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$x+2x=-6$$

Összeadjuk a következőket: x és 2x.

$$3x=-6$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$x=-2$$

A(z) y-2x=6 egyenletben behelyettesítjük x helyére a következőt: -2. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) y változóra.

$$y-2\left(-2\right)=6$$

Összeszorozzuk a következőket: -2 és -2.

$$y+4=6$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 4.

$$y=2$$

A rendszer megoldva.

$$y=2,x=-2$$