{l}{y=-3x+5}{y=2x} megoldása

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 3 x + 5 } \\ { y = 2 x } \end{array} \right.$$

Megoldás a(z) y, x változóra

$$x=1$$

$$y=2$$

Lépések helyettesítés használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 3x.

$$y+3x=5$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2x.

$$y-2x=0$$

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$y+3x=5,y-2x=0$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) y változót úgy, hogy a(z) y változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$y+3x=5$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 3x.

$$y=-3x+5$$

Behelyettesítjük a(z) -3x+5 értéket y helyére a másik, y-2x=0 egyenletben.

$$-3x+5-2x=0$$

Összeadjuk a következőket: -3x és -2x.

$$-5x+5=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 5.

$$-5x=-5$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -5.

$$x=1$$

A(z) y=-3x+5 egyenletben behelyettesítjük x helyére a következőt: 1. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) y változóra.

$$y=-3+5$$

Összeadjuk a következőket: 5 és -3.

$$y=2$$

A rendszer megoldva.

$$y=2,x=1$$

Lépések mátrixok használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 3x.

$$y+3x=5$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2x.

$$y-2x=0$$

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$y+3x=5,y-2x=0$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}1&3\\1&-2\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Az \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2-es mátrix inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) mátrix, így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-3}&-\frac{3}{-2-3}\\-\frac{1}{-2-3}&\frac{1}{-2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 5\\\frac{1}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) y és x elemeket.

$$y=2,x=1$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 3x.

$$y+3x=5$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2x.

$$y-2x=0$$

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$y+3x=5,y-2x=0$$

y-2x=0 kivonása a következőből: y+3x=5: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$y-y+3x+2x=5$$

Összeadjuk a következőket: y és -y. y és -y kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$3x+2x=5$$

Összeadjuk a következőket: 3x és 2x.

$$5x=5$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$x=1$$

A(z) y-2x=0 egyenletben behelyettesítjük x helyére a következőt: 1. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) y változóra.

$$y-2=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 2.

$$y=2$$

A rendszer megoldva.

$$y=2,x=1$$