{l}{x-3=y}{37-3x=y} megoldása

$$\left. \begin{array} { l } { x - 3 = y } \\ { 37 - 3 x = y } \end{array} \right.$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x=10$$

$$y=7$$

Lépések helyettesítés használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: y.

$$x-3-y=0$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 3. Egy adott számhoz nullát adva ugyanazt a számot kapjuk.

$$x-y=3$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: y.

$$37-3x-y=0$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 37. Ha nullából von ki számot, annak ellentettjét kapja.

$$-3x-y=-37$$

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$x-y=3,-3x-y=-37$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$x-y=3$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: y.

$$x=y+3$$

Behelyettesítjük a(z) y+3 értéket x helyére a másik, -3x-y=-37 egyenletben.

$$-3\left(y+3\right)-y=-37$$

Összeszorozzuk a következőket: -3 és y+3.

$$-3y-9-y=-37$$

Összeadjuk a következőket: -3y és -y.

$$-4y-9=-37$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 9.

$$-4y=-28$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -4.

$$y=7$$

A(z) x=y+3 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 7. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=7+3$$

Összeadjuk a következőket: 3 és 7.

$$x=10$$

A rendszer megoldva.

$$x=10,y=7$$

Lépések mátrixok használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: y.

$$x-3-y=0$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 3. Egy adott számhoz nullát adva ugyanazt a számot kapjuk.

$$x-y=3$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: y.

$$37-3x-y=0$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 37. Ha nullából von ki számot, annak ellentettjét kapja.

$$-3x-y=-37$$

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$x-y=3,-3x-y=-37$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Az \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2-es mátrix inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) mátrix, így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 3-\frac{1}{4}\left(-37\right)\\-\frac{3}{4}\times 3-\frac{1}{4}\left(-37\right)\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=10,y=7$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: y.

$$x-3-y=0$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 3. Egy adott számhoz nullát adva ugyanazt a számot kapjuk.

$$x-y=3$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: y.

$$37-3x-y=0$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 37. Ha nullából von ki számot, annak ellentettjét kapja.

$$-3x-y=-37$$

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$x-y=3,-3x-y=-37$$

-3x-y=-37 kivonása a következőből: x-y=3: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$x+3x-y+y=3+37$$

Összeadjuk a következőket: -y és y. -y és y kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$x+3x=3+37$$

Összeadjuk a következőket: x és 3x.

$$4x=3+37$$

Összeadjuk a következőket: 3 és 37.

$$4x=40$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$x=10$$

A(z) -3x-y=-37 egyenletben behelyettesítjük x helyére a következőt: 10. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) y változóra.

$$-3\times 10-y=-37$$

Összeszorozzuk a következőket: -3 és 10.

$$-30-y=-37$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 30.

$$-y=-7$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -1.

$$y=7$$

A rendszer megoldva.

$$x=10,y=7$$