{l}{x^2+y^2=4}{x+y=1} megoldása

$$\left. \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4 } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x=\frac{\sqrt{7}+1}{2}\approx 1.822875656\text{, }y=\frac{1-\sqrt{7}}{2}\approx -0.822875656$$

$$x=\frac{1-\sqrt{7}}{2}\approx -0.822875656\text{, }y=\frac{\sqrt{7}+1}{2}\approx 1.822875656$$

Lépések behelyettesítéssel és a másodfokú egyenlet megoldóképletével

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$x+y=1,y^{2}+x^{2}=4$$

A(z) x+y=1 egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$x+y=1$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: y.

$$x=-y+1$$

Behelyettesítjük a(z) -y+1 értéket x helyére a másik, y^{2}+x^{2}=4 egyenletben.

$$y^{2}+\left(-y+1\right)^{2}=4$$

Négyzetre emeljük a következőt: -y+1.

$$y^{2}+y^{2}-2y+1=4$$

Összeadjuk a következőket: y^{2} és y^{2}.

$$2y^{2}-2y+1=4$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 4.

$$2y^{2}-2y-3=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1+1\left(-1\right)^{2} értéket a-ba, a(z) 1\times 1\left(-1\right)\times 2 értéket b-be és a(z) -3 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 1\times 1\left(-1\right)\times 2.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -8 és -3.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+24}}{2\times 2}$$

Összeadjuk a következőket: 4 és 24.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{28}}{2\times 2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 28.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{7}}{2\times 2}$$

1\times 1\left(-1\right)\times 2 ellentettje 2.

$$y=\frac{2±2\sqrt{7}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{2±2\sqrt{7}}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (y=\frac{2±2\sqrt{7}}{4}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 2 és 2\sqrt{7}.

$$y=\frac{2\sqrt{7}+2}{4}$$

2+2\sqrt{7} elosztása a következővel: 4.

$$y=\frac{\sqrt{7}+1}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (y=\frac{2±2\sqrt{7}}{4}). ± előjele negatív. 2\sqrt{7} kivonása a következőből: 2.

$$y=\frac{2-2\sqrt{7}}{4}$$

2-2\sqrt{7} elosztása a következővel: 4.

$$y=\frac{1-\sqrt{7}}{2}$$

A(z) y egyenletnek két megoldása van: \frac{1+\sqrt{7}}{2} és \frac{1-\sqrt{7}}{2}. A(z) \frac{1+\sqrt{7}}{2} értéket behelyettesítjük y helyére a(z) x=-y+1 egyenletbe, így megkapjuk x megfelelő értékét, amely mindkét egyenletet kielégíti.

$$x=-\frac{\sqrt{7}+1}{2}+1$$

Most behelyettesítjük a(z) \frac{1-\sqrt{7}}{2} értéket y helyére a(z) x=-y+1 egyenletbe, és megoldjuk az egyenletet, így megkapjuk x megfelelő értékét, amely mindkét egyenletet kielégíti.

$$x=-\frac{1-\sqrt{7}}{2}+1$$

A rendszer megoldva.

$$x=-\frac{\sqrt{7}+1}{2}+1,y=\frac{\sqrt{7}+1}{2}\text{ or }x=-\frac{1-\sqrt{7}}{2}+1,y=\frac{1-\sqrt{7}}{2}$$