{l}{x+y=90}{x+36=3y} megoldása

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 90 } \\ { x + 36 = 3 y } \end{array} \right.$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x = \frac{117}{2} = 58\frac{1}{2} = 58.5$$

$$y = \frac{63}{2} = 31\frac{1}{2} = 31.5$$

Lépések helyettesítés használatával

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 3y.

$$x+36-3y=0$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 36. Ha nullából von ki számot, annak ellentettjét kapja.

$$x-3y=-36$$

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$x+y=90$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: y.

$$x=-y+90$$

Behelyettesítjük a(z) -y+90 értéket x helyére a másik, x-3y=-36 egyenletben.

$$-y+90-3y=-36$$

Összeadjuk a következőket: -y és -3y.

$$-4y+90=-36$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 90.

$$-4y=-126$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -4.

$$y=\frac{63}{2}$$

A(z) x=-y+90 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: \frac{63}{2}. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=-\frac{63}{2}+90$$

Összeadjuk a következőket: 90 és -\frac{63}{2}.

$$x=\frac{117}{2}$$

A rendszer megoldva.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$

Lépések mátrixok használatával

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 3y.

$$x+36-3y=0$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 36. Ha nullából von ki számot, annak ellentettjét kapja.

$$x-3y=-36$$

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Az \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2-es mátrix inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) mátrix, így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-1}&-\frac{1}{-3-1}\\-\frac{1}{-3-1}&\frac{1}{-3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 90+\frac{1}{4}\left(-36\right)\\\frac{1}{4}\times 90-\frac{1}{4}\left(-36\right)\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{117}{2}\\\frac{63}{2}\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 3y.

$$x+36-3y=0$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 36. Ha nullából von ki számot, annak ellentettjét kapja.

$$x-3y=-36$$

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

x-3y=-36 kivonása a következőből: x+y=90: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$x-x+y+3y=90+36$$

Összeadjuk a következőket: x és -x. x és -x kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$y+3y=90+36$$

Összeadjuk a következőket: y és 3y.

$$4y=90+36$$

Összeadjuk a következőket: 90 és 36.

$$4y=126$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$y=\frac{63}{2}$$

A(z) x-3y=-36 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: \frac{63}{2}. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x-3\times \frac{63}{2}=-36$$

Összeszorozzuk a következőket: -3 és \frac{63}{2}.

$$x-\frac{189}{2}=-36$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{189}{2}.

$$x=\frac{117}{2}$$

A rendszer megoldva.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$