{l}{x+y=4}{x-y=4} megoldása

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 4 } \\ { x - y = 4 } \end{array} \right.$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x=4$$

$$y=0$$

Lépések helyettesítés használatával

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$x+y=4,x-y=4$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$x+y=4$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: y.

$$x=-y+4$$

Behelyettesítjük a(z) -y+4 értéket x helyére a másik, x-y=4 egyenletben.

$$-y+4-y=4$$

Összeadjuk a következőket: -y és -y.

$$-2y+4=4$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 4.

$$-2y=0$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -2.

$$y=0$$

A(z) x=-y+4 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 0. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=4$$

A rendszer megoldva.

$$x=4,y=0$$

Lépések mátrixok használatával

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$x+y=4,x-y=4$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Az \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2-es mátrix inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) mátrix, így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-1}&-\frac{1}{-1-1}\\-\frac{1}{-1-1}&\frac{1}{-1-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 4+\frac{1}{2}\times 4\\\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{2}\times 4\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=4,y=0$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$x+y=4,x-y=4$$

x-y=4 kivonása a következőből: x+y=4: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$x-x+y+y=4-4$$

Összeadjuk a következőket: x és -x. x és -x kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$y+y=4-4$$

Összeadjuk a következőket: y és y.

$$2y=4-4$$

Összeadjuk a következőket: 4 és -4.

$$2y=0$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$y=0$$

A(z) x-y=4 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 0. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=4$$

A rendszer megoldva.

$$x=4,y=0$$