{l}{x+y=1}{3x+y=5} megoldása

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 1 } \\ { 3 x + y = 5 } \end{array} \right.$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x=2$$

$$y=-1$$

Lépések helyettesítés használatával

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$x+y=1,3x+y=5$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$x+y=1$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: y.

$$x=-y+1$$

Behelyettesítjük a(z) -y+1 értéket x helyére a másik, 3x+y=5 egyenletben.

$$3\left(-y+1\right)+y=5$$

Összeszorozzuk a következőket: 3 és -y+1.

$$-3y+3+y=5$$

Összeadjuk a következőket: -3y és y.

$$-2y+3=5$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 3.

$$-2y=2$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -2.

$$y=-1$$

A(z) x=-y+1 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: -1. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=-\left(-1\right)+1$$

Összeszorozzuk a következőket: -1 és -1.

$$x=1+1$$

Összeadjuk a következőket: 1 és 1.

$$x=2$$

A rendszer megoldva.

$$x=2,y=-1$$

Lépések mátrixok használatával

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$x+y=1,3x+y=5$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Az \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2-es mátrix inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) mátrix, így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3}&-\frac{1}{1-3}\\-\frac{3}{1-3}&\frac{1}{1-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5\\\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\times 5\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=2,y=-1$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$x+y=1,3x+y=5$$

3x+y=5 kivonása a következőből: x+y=1: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$x-3x+y-y=1-5$$

Összeadjuk a következőket: y és -y. y és -y kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$x-3x=1-5$$

Összeadjuk a következőket: x és -3x.

$$-2x=1-5$$

Összeadjuk a következőket: 1 és -5.

$$-2x=-4$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -2.

$$x=2$$

A(z) 3x+y=5 egyenletben behelyettesítjük x helyére a következőt: 2. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) y változóra.

$$3\times 2+y=5$$

Összeszorozzuk a következőket: 3 és 2.

$$6+y=5$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 6.

$$y=-1$$

A rendszer megoldva.

$$x=2,y=-1$$