{l}{x+3y=7}{3x+y=17} megoldása

$$\left. \begin{array} { l } { x + 3 y = 7 } \\ { 3 x + y = 17 } \end{array} \right.$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5.5$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

Lépések helyettesítés használatával

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$x+3y=7,3x+y=17$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$x+3y=7$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 3y.

$$x=-3y+7$$

Behelyettesítjük a(z) -3y+7 értéket x helyére a másik, 3x+y=17 egyenletben.

$$3\left(-3y+7\right)+y=17$$

Összeszorozzuk a következőket: 3 és -3y+7.

$$-9y+21+y=17$$

Összeadjuk a következőket: -9y és y.

$$-8y+21=17$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 21.

$$-8y=-4$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -8.

$$y=\frac{1}{2}$$

A(z) x=-3y+7 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: \frac{1}{2}. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=-3\times \frac{1}{2}+7$$

Összeszorozzuk a következőket: -3 és \frac{1}{2}.

$$x=-\frac{3}{2}+7$$

Összeadjuk a következőket: 7 és -\frac{3}{2}.

$$x=\frac{11}{2}$$

A rendszer megoldva.

$$x=\frac{11}{2},y=\frac{1}{2}$$

Lépések mátrixok használatával

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$x+3y=7,3x+y=17$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Az \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2-es mátrix inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) mátrix, így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3\times 3}&-\frac{3}{1-3\times 3}\\-\frac{3}{1-3\times 3}&\frac{1}{1-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}\times 7+\frac{3}{8}\times 17\\\frac{3}{8}\times 7-\frac{1}{8}\times 17\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=\frac{11}{2},y=\frac{1}{2}$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$x+3y=7,3x+y=17$$

x és 3x egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: 3, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 1.

$$3x+3\times 3y=3\times 7,3x+y=17$$

Egyszerűsítünk.

$$3x+9y=21,3x+y=17$$

3x+y=17 kivonása a következőből: 3x+9y=21: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$3x-3x+9y-y=21-17$$

Összeadjuk a következőket: 3x és -3x. 3x és -3x kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$9y-y=21-17$$

Összeadjuk a következőket: 9y és -y.

$$8y=21-17$$

Összeadjuk a következőket: 21 és -17.

$$8y=4$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 8.

$$y=\frac{1}{2}$$

A(z) 3x+y=17 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: \frac{1}{2}. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$3x+\frac{1}{2}=17$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{1}{2}.

$$3x=\frac{33}{2}$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$x=\frac{11}{2}$$

A rendszer megoldva.

$$x=\frac{11}{2},y=\frac{1}{2}$$