{l}{x+15=y}{4x=y} megoldása

$$\left. \begin{array} { l } { x + 15 = y } \\ { 4 x = y } \end{array} \right.$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x=5$$

$$y=20$$

Lépések helyettesítés használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: y.

$$x+15-y=0$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 15. Ha nullából von ki számot, annak ellentettjét kapja.

$$x-y=-15$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: y.

$$4x-y=0$$

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$x-y=-15,4x-y=0$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$x-y=-15$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: y.

$$x=y-15$$

Behelyettesítjük a(z) y-15 értéket x helyére a másik, 4x-y=0 egyenletben.

$$4\left(y-15\right)-y=0$$

Összeszorozzuk a következőket: 4 és y-15.

$$4y-60-y=0$$

Összeadjuk a következőket: 4y és -y.

$$3y-60=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 60.

$$3y=60$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$y=20$$

A(z) x=y-15 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 20. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=20-15$$

Összeadjuk a következőket: -15 és 20.

$$x=5$$

A rendszer megoldva.

$$x=5,y=20$$

Lépések mátrixok használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: y.

$$x+15-y=0$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 15. Ha nullából von ki számot, annak ellentettjét kapja.

$$x-y=-15$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: y.

$$4x-y=0$$

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$x-y=-15,4x-y=0$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Az \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2-es mátrix inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) mátrix, így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{-1-\left(-4\right)}&\frac{1}{-1-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{4}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-15\right)\\-\frac{4}{3}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\20\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=5,y=20$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: y.

$$x+15-y=0$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 15. Ha nullából von ki számot, annak ellentettjét kapja.

$$x-y=-15$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: y.

$$4x-y=0$$

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$x-y=-15,4x-y=0$$

4x-y=0 kivonása a következőből: x-y=-15: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$x-4x-y+y=-15$$

Összeadjuk a következőket: -y és y. -y és y kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$x-4x=-15$$

Összeadjuk a következőket: x és -4x.

$$-3x=-15$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -3.

$$x=5$$

A(z) 4x-y=0 egyenletben behelyettesítjük x helyére a következőt: 5. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) y változóra.

$$4\times 5-y=0$$

Összeszorozzuk a következőket: 4 és 5.

$$20-y=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 20.

$$-y=-20$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -1.

$$y=20$$

A rendszer megoldva.

$$x=5,y=20$$