{l}{800=x+20y}{700=x+15y} megoldása

$$\left. \begin{array} { l } { 800 = x + 20 y } \\ { 700 = x + 15 y } \end{array} \right.$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x=400$$

$$y=20$$

Lépések helyettesítés használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Megcseréljük az oldalakat, hogy minden változót tartalmazó tag a bal oldalon legyen.

$$x+20y=800$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Megcseréljük az oldalakat, hogy minden változót tartalmazó tag a bal oldalon legyen.

$$x+15y=700$$

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$x+20y=800,x+15y=700$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$x+20y=800$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 20y.

$$x=-20y+800$$

Behelyettesítjük a(z) -20y+800 értéket x helyére a másik, x+15y=700 egyenletben.

$$-20y+800+15y=700$$

Összeadjuk a következőket: -20y és 15y.

$$-5y+800=700$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 800.

$$-5y=-100$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -5.

$$y=20$$

A(z) x=-20y+800 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 20. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=-20\times 20+800$$

Összeszorozzuk a következőket: -20 és 20.

$$x=-400+800$$

Összeadjuk a következőket: 800 és -400.

$$x=400$$

A rendszer megoldva.

$$x=400,y=20$$

Lépések mátrixok használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Megcseréljük az oldalakat, hogy minden változót tartalmazó tag a bal oldalon legyen.

$$x+20y=800$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Megcseréljük az oldalakat, hogy minden változót tartalmazó tag a bal oldalon legyen.

$$x+15y=700$$

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$x+20y=800,x+15y=700$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Az \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2-es mátrix inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) mátrix, így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{15-20}&-\frac{20}{15-20}\\-\frac{1}{15-20}&\frac{1}{15-20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&4\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 800+4\times 700\\\frac{1}{5}\times 800-\frac{1}{5}\times 700\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}400\\20\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=400,y=20$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Megcseréljük az oldalakat, hogy minden változót tartalmazó tag a bal oldalon legyen.

$$x+20y=800$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Megcseréljük az oldalakat, hogy minden változót tartalmazó tag a bal oldalon legyen.

$$x+15y=700$$

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$x+20y=800,x+15y=700$$

x+15y=700 kivonása a következőből: x+20y=800: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$x-x+20y-15y=800-700$$

Összeadjuk a következőket: x és -x. x és -x kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$20y-15y=800-700$$

Összeadjuk a következőket: 20y és -15y.

$$5y=800-700$$

Összeadjuk a következőket: 800 és -700.

$$5y=100$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$y=20$$

A(z) x+15y=700 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 20. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x+15\times 20=700$$

Összeszorozzuk a következőket: 15 és 20.

$$x+300=700$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 300.

$$x=400$$

A rendszer megoldva.

$$x=400,y=20$$