{l}{8+4x=2y}{-4x=14-3y} megoldása

$$\left. \begin{array} { l } { 8 + 4 x = 2 y } \\ { - 4 x = 14 - 3 y } \end{array} \right.$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x=1$$

$$y=6$$

Lépések helyettesítés használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2y.

$$8+4x-2y=0$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 8. Ha nullából von ki számot, annak ellentettjét kapja.

$$4x-2y=-8$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 3y.

$$-4x+3y=14$$

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$4x-2y=-8$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 2y.

$$4x=2y-8$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y-8\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{4} és -8+2y.

$$x=\frac{1}{2}y-2$$

Behelyettesítjük a(z) \frac{y}{2}-2 értéket x helyére a másik, -4x+3y=14 egyenletben.

$$-4\left(\frac{1}{2}y-2\right)+3y=14$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és \frac{y}{2}-2.

$$-2y+8+3y=14$$

Összeadjuk a következőket: -2y és 3y.

$$y+8=14$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 8.

$$y=6$$

A(z) x=\frac{1}{2}y-2 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 6. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=\frac{1}{2}\times 6-2$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{2} és 6.

$$x=3-2$$

Összeadjuk a következőket: -2 és 3.

$$x=1$$

A rendszer megoldva.

$$x=1,y=6$$

Lépések mátrixok használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2y.

$$8+4x-2y=0$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 8. Ha nullából von ki számot, annak ellentettjét kapja.

$$4x-2y=-8$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 3y.

$$-4x+3y=14$$

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Az \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2-es mátrix inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) mátrix, így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{2}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\left(-8\right)+\frac{1}{2}\times 14\\-8+14\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=1,y=6$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2y.

$$8+4x-2y=0$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 8. Ha nullából von ki számot, annak ellentettjét kapja.

$$4x-2y=-8$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 3y.

$$-4x+3y=14$$

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

4x és -4x egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: -4, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 4.

$$-4\times 4x-4\left(-2\right)y=-4\left(-8\right),4\left(-4\right)x+4\times 3y=4\times 14$$

Egyszerűsítünk.

$$-16x+8y=32,-16x+12y=56$$

-16x+12y=56 kivonása a következőből: -16x+8y=32: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$-16x+16x+8y-12y=32-56$$

Összeadjuk a következőket: -16x és 16x. -16x és 16x kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$8y-12y=32-56$$

Összeadjuk a következőket: 8y és -12y.

$$-4y=32-56$$

Összeadjuk a következőket: 32 és -56.

$$-4y=-24$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -4.

$$y=6$$

A(z) -4x+3y=14 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 6. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$-4x+3\times 6=14$$

Összeszorozzuk a következőket: 3 és 6.

$$-4x+18=14$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 18.

$$-4x=-4$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -4.

$$x=1$$

A rendszer megoldva.

$$x=1,y=6$$