{l}{4x+y=8}{x-y=2} megoldása

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 8 } \\ { x - y = 2 } \end{array} \right.$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x=2$$

$$y=0$$

Lépések helyettesítés használatával

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$4x+y=8,x-y=2$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$4x+y=8$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: y.

$$4x=-y+8$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+8\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{4} és -y+8.

$$x=-\frac{1}{4}y+2$$

Behelyettesítjük a(z) -\frac{y}{4}+2 értéket x helyére a másik, x-y=2 egyenletben.

$$-\frac{1}{4}y+2-y=2$$

Összeadjuk a következőket: -\frac{y}{4} és -y.

$$-\frac{5}{4}y+2=2$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 2.

$$-\frac{5}{4}y=0$$

Az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk a következővel: -\frac{5}{4}. Ez ugyanaz, mintha mindkét oldalt megszoroznánk a tört reciprokával.

$$y=0$$

A(z) x=-\frac{1}{4}y+2 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 0. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=2$$

A rendszer megoldva.

$$x=2,y=0$$

Lépések mátrixok használatával

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$4x+y=8,x-y=2$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Az \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2-es mátrix inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) mátrix, így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{4\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{4\left(-1\right)-1}&\frac{4}{4\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 8+\frac{1}{5}\times 2\\\frac{1}{5}\times 8-\frac{4}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=2,y=0$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$4x+y=8,x-y=2$$

4x és x egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: 1, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 4.

$$4x+y=8,4x+4\left(-1\right)y=4\times 2$$

Egyszerűsítünk.

$$4x+y=8,4x-4y=8$$

4x-4y=8 kivonása a következőből: 4x+y=8: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$4x-4x+y+4y=8-8$$

Összeadjuk a következőket: 4x és -4x. 4x és -4x kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$y+4y=8-8$$

Összeadjuk a következőket: y és 4y.

$$5y=8-8$$

Összeadjuk a következőket: 8 és -8.

$$5y=0$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$y=0$$

A(z) x-y=2 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 0. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=2$$

A rendszer megoldva.

$$x=2,y=0$$