{l}{4x+y=7}{3x+2y=9} megoldása

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 7 } \\ { 3 x + 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x=1$$

$$y=3$$

Lépések helyettesítés használatával

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$4x+y=7,3x+2y=9$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$4x+y=7$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: y.

$$4x=-y+7$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+7\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{4} és -y+7.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{7}{4}$$

Behelyettesítjük a(z) \frac{-y+7}{4} értéket x helyére a másik, 3x+2y=9 egyenletben.

$$3\left(-\frac{1}{4}y+\frac{7}{4}\right)+2y=9$$

Összeszorozzuk a következőket: 3 és \frac{-y+7}{4}.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{21}{4}+2y=9$$

Összeadjuk a következőket: -\frac{3y}{4} és 2y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{21}{4}=9$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{21}{4}.

$$\frac{5}{4}y=\frac{15}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk a következővel: \frac{5}{4}. Ez ugyanaz, mintha mindkét oldalt megszoroznánk a tört reciprokával.

$$y=3$$

A(z) x=-\frac{1}{4}y+\frac{7}{4} egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 3. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=-\frac{1}{4}\times 3+\frac{7}{4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -\frac{1}{4} és 3.

$$x=\frac{-3+7}{4}$$

\frac{7}{4} és -\frac{3}{4} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x=1$$

A rendszer megoldva.

$$x=1,y=3$$

Lépések mátrixok használatával

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$4x+y=7,3x+2y=9$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Az \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2-es mátrix inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) mátrix, így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-3}&-\frac{1}{4\times 2-3}\\-\frac{3}{4\times 2-3}&\frac{4}{4\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{3}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 7-\frac{1}{5}\times 9\\-\frac{3}{5}\times 7+\frac{4}{5}\times 9\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=1,y=3$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$4x+y=7,3x+2y=9$$

4x és 3x egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: 3, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 4.

$$3\times 4x+3y=3\times 7,4\times 3x+4\times 2y=4\times 9$$

Egyszerűsítünk.

$$12x+3y=21,12x+8y=36$$

12x+8y=36 kivonása a következőből: 12x+3y=21: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$12x-12x+3y-8y=21-36$$

Összeadjuk a következőket: 12x és -12x. 12x és -12x kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$3y-8y=21-36$$

Összeadjuk a következőket: 3y és -8y.

$$-5y=21-36$$

Összeadjuk a következőket: 21 és -36.

$$-5y=-15$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -5.

$$y=3$$

A(z) 3x+2y=9 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 3. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$3x+2\times 3=9$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 3.

$$3x+6=9$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 6.

$$3x=3$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$x=1$$

A rendszer megoldva.

$$x=1,y=3$$