{l}{4x+2y=2}{x+y=4} megoldása

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 2 } \\ { x + y = 4 } \end{array} \right.$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x=-3$$

$$y=7$$

Lépések helyettesítés használatával

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$4x+2y=2,x+y=4$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$4x+2y=2$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 2y.

$$4x=-2y+2$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+2\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{4} és -2y+2.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

Behelyettesítjük a(z) \frac{-y+1}{2} értéket x helyére a másik, x+y=4 egyenletben.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}+y=4$$

Összeadjuk a következőket: -\frac{y}{2} és y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}=4$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{1}{2}.

$$\frac{1}{2}y=\frac{7}{2}$$

Mindkét oldalt megszorozzuk ennyivel: 2.

$$y=7$$

A(z) x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2} egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 7. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=-\frac{1}{2}\times 7+\frac{1}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -\frac{1}{2} és 7.

$$x=\frac{-7+1}{2}$$

\frac{1}{2} és -\frac{7}{2} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x=-3$$

A rendszer megoldva.

$$x=-3,y=7$$

Lépések mátrixok használatával

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$4x+2y=2,x+y=4$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Az \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2-es mátrix inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) mátrix, így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-2}&-\frac{2}{4-2}\\-\frac{1}{4-2}&\frac{4}{4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-1\\-\frac{1}{2}&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 2-4\\-\frac{1}{2}\times 2+2\times 4\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=-3,y=7$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$4x+2y=2,x+y=4$$

4x és x egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: 1, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 4.

$$4x+2y=2,4x+4y=4\times 4$$

Egyszerűsítünk.

$$4x+2y=2,4x+4y=16$$

4x+4y=16 kivonása a következőből: 4x+2y=2: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$4x-4x+2y-4y=2-16$$

Összeadjuk a következőket: 4x és -4x. 4x és -4x kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$2y-4y=2-16$$

Összeadjuk a következőket: 2y és -4y.

$$-2y=2-16$$

Összeadjuk a következőket: 2 és -16.

$$-2y=-14$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -2.

$$y=7$$

A(z) x+y=4 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 7. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x+7=4$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 7.

$$x=-3$$

A rendszer megoldva.

$$x=-3,y=7$$