{l}{2x_{1}+3x_{2}=7}{4x_{1}-4x_{2}=-6} megoldása

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } = 7 } \\ { 4 x _ { 1 } - 4 x _ { 2 } = - 6 } \end{array} \right.$$

Megoldás a(z) x_1, x_2 változóra

$$x_{1}=\frac{1}{2}=0.5$$

$$x_{2}=2$$

Lépések helyettesítés használatával

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x_{1} változót úgy, hogy a(z) x_{1} változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$2x_{1}+3x_{2}=7$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 3x_{2}.

$$2x_{1}=-3x_{2}+7$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$x_{1}=\frac{1}{2}\left(-3x_{2}+7\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{2} és -3x_{2}+7.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}$$

Behelyettesítjük a(z) \frac{-3x_{2}+7}{2} értéket x_{1} helyére a másik, 4x_{1}-4x_{2}=-6 egyenletben.

$$4\left(-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}\right)-4x_{2}=-6$$

Összeszorozzuk a következőket: 4 és \frac{-3x_{2}+7}{2}.

$$-6x_{2}+14-4x_{2}=-6$$

Összeadjuk a következőket: -6x_{2} és -4x_{2}.

$$-10x_{2}+14=-6$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 14.

$$-10x_{2}=-20$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -10.

$$x_{2}=2$$

A(z) x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2} egyenletben behelyettesítjük x_{2} helyére a következőt: 2. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x_{1} változóra.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}\times 2+\frac{7}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -\frac{3}{2} és 2.

$$x_{1}=-3+\frac{7}{2}$$

Összeadjuk a következőket: \frac{7}{2} és -3.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

A rendszer megoldva.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

Lépések mátrixok használatával

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Az \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2-es mátrix inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) mátrix, így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{20}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 7+\frac{3}{20}\left(-6\right)\\\frac{1}{5}\times 7-\frac{1}{10}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\2\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x_{1} és x_{2} elemeket.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

2x_{1} és 4x_{1} egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: 4, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 2.

$$4\times 2x_{1}+4\times 3x_{2}=4\times 7,2\times 4x_{1}+2\left(-4\right)x_{2}=2\left(-6\right)$$

Egyszerűsítünk.

$$8x_{1}+12x_{2}=28,8x_{1}-8x_{2}=-12$$

8x_{1}-8x_{2}=-12 kivonása a következőből: 8x_{1}+12x_{2}=28: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$8x_{1}-8x_{1}+12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

Összeadjuk a következőket: 8x_{1} és -8x_{1}. 8x_{1} és -8x_{1} kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

Összeadjuk a következőket: 12x_{2} és 8x_{2}.

$$20x_{2}=28+12$$

Összeadjuk a következőket: 28 és 12.

$$20x_{2}=40$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 20.

$$x_{2}=2$$

A(z) 4x_{1}-4x_{2}=-6 egyenletben behelyettesítjük x_{2} helyére a következőt: 2. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x_{1} változóra.

$$4x_{1}-4\times 2=-6$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 2.

$$4x_{1}-8=-6$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 8.

$$4x_{1}=2$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

A rendszer megoldva.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$