{l}{2x+5y=259}{199x-2y=1127} megoldása

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 259 } \\ { 199 x - 2 y = 1127 } \end{array} \right.$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x = \frac{2051}{333} = 6\frac{53}{333} \approx 6.159159159$$

$$y = \frac{16429}{333} = 49\frac{112}{333} \approx 49.336336336$$

Lépések helyettesítés használatával

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$2x+5y=259$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 5y.

$$2x=-5y+259$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+259\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{2} és -5y+259.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}$$

Behelyettesítjük a(z) \frac{-5y+259}{2} értéket x helyére a másik, 199x-2y=1127 egyenletben.

$$199\left(-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}\right)-2y=1127$$

Összeszorozzuk a következőket: 199 és \frac{-5y+259}{2}.

$$-\frac{995}{2}y+\frac{51541}{2}-2y=1127$$

Összeadjuk a következőket: -\frac{995y}{2} és -2y.

$$-\frac{999}{2}y+\frac{51541}{2}=1127$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{51541}{2}.

$$-\frac{999}{2}y=-\frac{49287}{2}$$

Az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk a következővel: -\frac{999}{2}. Ez ugyanaz, mintha mindkét oldalt megszoroznánk a tört reciprokával.

$$y=\frac{16429}{333}$$

A(z) x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2} egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: \frac{16429}{333}. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{16429}{333}+\frac{259}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -\frac{5}{2} és \frac{16429}{333}. Ezt úgy végezzük, hogy a számlálót megszorozzuk a számlálóval, a nevezőt pedig a nevezővel. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x=-\frac{82145}{666}+\frac{259}{2}$$

\frac{259}{2} és -\frac{82145}{666} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x=\frac{2051}{333}$$

A rendszer megoldva.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

Lépések mátrixok használatával

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Az \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2-es mátrix inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) mátrix, így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\times 199}\\-\frac{199}{2\left(-2\right)-5\times 199}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}&\frac{5}{999}\\\frac{199}{999}&-\frac{2}{999}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}\times 259+\frac{5}{999}\times 1127\\\frac{199}{999}\times 259-\frac{2}{999}\times 1127\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2051}{333}\\\frac{16429}{333}\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

2x és 199x egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: 199, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 2.

$$199\times 2x+199\times 5y=199\times 259,2\times 199x+2\left(-2\right)y=2\times 1127$$

Egyszerűsítünk.

$$398x+995y=51541,398x-4y=2254$$

398x-4y=2254 kivonása a következőből: 398x+995y=51541: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$398x-398x+995y+4y=51541-2254$$

Összeadjuk a következőket: 398x és -398x. 398x és -398x kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$995y+4y=51541-2254$$

Összeadjuk a következőket: 995y és 4y.

$$999y=51541-2254$$

Összeadjuk a következőket: 51541 és -2254.

$$999y=49287$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 999.

$$y=\frac{16429}{333}$$

A(z) 199x-2y=1127 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: \frac{16429}{333}. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$199x-2\times \frac{16429}{333}=1127$$

Összeszorozzuk a következőket: -2 és \frac{16429}{333}.

$$199x-\frac{32858}{333}=1127$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{32858}{333}.

$$199x=\frac{408149}{333}$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 199.

$$x=\frac{2051}{333}$$

A rendszer megoldva.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$