{l}{2x+4y=-4}{2x+y=8} megoldása

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = - 4 } \\ { 2 x + y = 8 } \end{array} \right.$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x=6$$

$$y=-4$$

Lépések helyettesítés használatával

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$2x+4y=-4,2x+y=8$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$2x+4y=-4$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 4y.

$$2x=-4y-4$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y-4\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{2} és -4y-4.

$$x=-2y-2$$

Behelyettesítjük a(z) -2y-2 értéket x helyére a másik, 2x+y=8 egyenletben.

$$2\left(-2y-2\right)+y=8$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -2y-2.

$$-4y-4+y=8$$

Összeadjuk a következőket: -4y és y.

$$-3y-4=8$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 4.

$$-3y=12$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -3.

$$y=-4$$

A(z) x=-2y-2 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: -4. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=-2\left(-4\right)-2$$

Összeszorozzuk a következőket: -2 és -4.

$$x=8-2$$

Összeadjuk a következőket: -2 és 8.

$$x=6$$

A rendszer megoldva.

$$x=6,y=-4$$

Lépések mátrixok használatával

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$2x+4y=-4,2x+y=8$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Az \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2-es mátrix inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) mátrix, így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-4\times 2}&-\frac{4}{2-4\times 2}\\-\frac{2}{2-4\times 2}&\frac{2}{2-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\left(-4\right)+\frac{2}{3}\times 8\\\frac{1}{3}\left(-4\right)-\frac{1}{3}\times 8\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-4\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=6,y=-4$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$2x+4y=-4,2x+y=8$$

2x+y=8 kivonása a következőből: 2x+4y=-4: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$2x-2x+4y-y=-4-8$$

Összeadjuk a következőket: 2x és -2x. 2x és -2x kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$4y-y=-4-8$$

Összeadjuk a következőket: 4y és -y.

$$3y=-4-8$$

Összeadjuk a következőket: -4 és -8.

$$3y=-12$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$y=-4$$

A(z) 2x+y=8 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: -4. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$2x-4=8$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 4.

$$2x=12$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$x=6$$

A rendszer megoldva.

$$x=6,y=-4$$