{l}{2x+16y=22}{4x+8y=20} megoldása

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 16 y = 22 } \\ { 4 x + 8 y = 20 } \end{array} \right.$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x=3$$

$$y=1$$

Lépések helyettesítés használatával

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$2x+16y=22,4x+8y=20$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$2x+16y=22$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 16y.

$$2x=-16y+22$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-16y+22\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{2} és -16y+22.

$$x=-8y+11$$

Behelyettesítjük a(z) -8y+11 értéket x helyére a másik, 4x+8y=20 egyenletben.

$$4\left(-8y+11\right)+8y=20$$

Összeszorozzuk a következőket: 4 és -8y+11.

$$-32y+44+8y=20$$

Összeadjuk a következőket: -32y és 8y.

$$-24y+44=20$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 44.

$$-24y=-24$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -24.

$$y=1$$

A(z) x=-8y+11 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 1. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=-8+11$$

Összeadjuk a következőket: 11 és -8.

$$x=3$$

A rendszer megoldva.

$$x=3,y=1$$

Lépések mátrixok használatával

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$2x+16y=22,4x+8y=20$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Az \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2-es mátrix inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) mátrix, így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{2\times 8-16\times 4}&-\frac{16}{2\times 8-16\times 4}\\-\frac{4}{2\times 8-16\times 4}&\frac{2}{2\times 8-16\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{12}&-\frac{1}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 22+\frac{1}{3}\times 20\\\frac{1}{12}\times 22-\frac{1}{24}\times 20\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=3,y=1$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$2x+16y=22,4x+8y=20$$

2x és 4x egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: 4, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 2.

$$4\times 2x+4\times 16y=4\times 22,2\times 4x+2\times 8y=2\times 20$$

Egyszerűsítünk.

$$8x+64y=88,8x+16y=40$$

8x+16y=40 kivonása a következőből: 8x+64y=88: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$8x-8x+64y-16y=88-40$$

Összeadjuk a következőket: 8x és -8x. 8x és -8x kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$64y-16y=88-40$$

Összeadjuk a következőket: 64y és -16y.

$$48y=88-40$$

Összeadjuk a következőket: 88 és -40.

$$48y=48$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 48.

$$y=1$$

A(z) 4x+8y=20 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 1. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$4x+8=20$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 8.

$$4x=12$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$x=3$$

A rendszer megoldva.

$$x=3,y=1$$