{l}{13x+20y=48}{20x+93y=1} megoldása

$$\left. \begin{array} { l } { 13 x + 20 y = 48 } \\ { 20 x + 93 y = 1 } \end{array} \right.$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x = \frac{4444}{809} = 5\frac{399}{809} \approx 5.493201483$$

$$y = -\frac{947}{809} = -1\frac{138}{809} \approx -1.170580964$$

Lépések helyettesítés használatával

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$13x+20y=48,20x+93y=1$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$13x+20y=48$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 20y.

$$13x=-20y+48$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 13.

$$x=\frac{1}{13}\left(-20y+48\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{13} és -20y+48.

$$x=-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13}$$

Behelyettesítjük a(z) \frac{-20y+48}{13} értéket x helyére a másik, 20x+93y=1 egyenletben.

$$20\left(-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13}\right)+93y=1$$

Összeszorozzuk a következőket: 20 és \frac{-20y+48}{13}.

$$-\frac{400}{13}y+\frac{960}{13}+93y=1$$

Összeadjuk a következőket: -\frac{400y}{13} és 93y.

$$\frac{809}{13}y+\frac{960}{13}=1$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{960}{13}.

$$\frac{809}{13}y=-\frac{947}{13}$$

Az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk a következővel: \frac{809}{13}. Ez ugyanaz, mintha mindkét oldalt megszoroznánk a tört reciprokával.

$$y=-\frac{947}{809}$$

A(z) x=-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13} egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: -\frac{947}{809}. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=-\frac{20}{13}\left(-\frac{947}{809}\right)+\frac{48}{13}$$

Összeszorozzuk a következőket: -\frac{20}{13} és -\frac{947}{809}. Ezt úgy végezzük, hogy a számlálót megszorozzuk a számlálóval, a nevezőt pedig a nevezővel. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x=\frac{18940}{10517}+\frac{48}{13}$$

\frac{48}{13} és \frac{18940}{10517} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x=\frac{4444}{809}$$

A rendszer megoldva.

$$x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}$$

Lépések mátrixok használatával

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$13x+20y=48,20x+93y=1$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Az \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2-es mátrix inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) mátrix, így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{13\times 93-20\times 20}&-\frac{20}{13\times 93-20\times 20}\\-\frac{20}{13\times 93-20\times 20}&\frac{13}{13\times 93-20\times 20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{809}&-\frac{20}{809}\\-\frac{20}{809}&\frac{13}{809}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{809}\times 48-\frac{20}{809}\\-\frac{20}{809}\times 48+\frac{13}{809}\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4444}{809}\\-\frac{947}{809}\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$13x+20y=48,20x+93y=1$$

13x és 20x egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: 20, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 13.

$$20\times 13x+20\times 20y=20\times 48,13\times 20x+13\times 93y=13$$

Egyszerűsítünk.

$$260x+400y=960,260x+1209y=13$$

260x+1209y=13 kivonása a következőből: 260x+400y=960: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$260x-260x+400y-1209y=960-13$$

Összeadjuk a következőket: 260x és -260x. 260x és -260x kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$400y-1209y=960-13$$

Összeadjuk a következőket: 400y és -1209y.

$$-809y=960-13$$

Összeadjuk a következőket: 960 és -13.

$$-809y=947$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -809.

$$y=-\frac{947}{809}$$

A(z) 20x+93y=1 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: -\frac{947}{809}. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$20x+93\left(-\frac{947}{809}\right)=1$$

Összeszorozzuk a következőket: 93 és -\frac{947}{809}.

$$20x-\frac{88071}{809}=1$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{88071}{809}.

$$20x=\frac{88880}{809}$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 20.

$$x=\frac{4444}{809}$$

A rendszer megoldva.

$$x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}$$