{l}{12x+4y=6}{9x+16y=8} megoldása

$$\left. \begin{array} { l } { 12 x + 4 y = 6 } \\ { 9 x + 16 y = 8 } \end{array} \right.$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x=\frac{16}{39}\approx 0.41025641$$

$$y=\frac{7}{26}\approx 0.269230769$$

Lépések helyettesítés használatával

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$12x+4y=6$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 4y.

$$12x=-4y+6$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 12.

$$x=\frac{1}{12}\left(-4y+6\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{12} és -4y+6.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}$$

Behelyettesítjük a(z) -\frac{y}{3}+\frac{1}{2} értéket x helyére a másik, 9x+16y=8 egyenletben.

$$9\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}\right)+16y=8$$

Összeszorozzuk a következőket: 9 és -\frac{y}{3}+\frac{1}{2}.

$$-3y+\frac{9}{2}+16y=8$$

Összeadjuk a következőket: -3y és 16y.

$$13y+\frac{9}{2}=8$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{9}{2}.

$$13y=\frac{7}{2}$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 13.

$$y=\frac{7}{26}$$

A(z) x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2} egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: \frac{7}{26}. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{7}{26}+\frac{1}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -\frac{1}{3} és \frac{7}{26}. Ezt úgy végezzük, hogy a számlálót megszorozzuk a számlálóval, a nevezőt pedig a nevezővel. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x=-\frac{7}{78}+\frac{1}{2}$$

\frac{1}{2} és -\frac{7}{78} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x=\frac{16}{39}$$

A rendszer megoldva.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

Lépések mátrixok használatával

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Az \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2-es mátrix inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) mátrix, így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{12\times 16-4\times 9}&-\frac{4}{12\times 16-4\times 9}\\-\frac{9}{12\times 16-4\times 9}&\frac{12}{12\times 16-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}&-\frac{1}{39}\\-\frac{3}{52}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}\times 6-\frac{1}{39}\times 8\\-\frac{3}{52}\times 6+\frac{1}{13}\times 8\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{39}\\\frac{7}{26}\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

12x és 9x egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: 9, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 12.

$$9\times 12x+9\times 4y=9\times 6,12\times 9x+12\times 16y=12\times 8$$

Egyszerűsítünk.

$$108x+36y=54,108x+192y=96$$

108x+192y=96 kivonása a következőből: 108x+36y=54: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$108x-108x+36y-192y=54-96$$

Összeadjuk a következőket: 108x és -108x. 108x és -108x kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$36y-192y=54-96$$

Összeadjuk a következőket: 36y és -192y.

$$-156y=54-96$$

Összeadjuk a következőket: 54 és -96.

$$-156y=-42$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -156.

$$y=\frac{7}{26}$$

A(z) 9x+16y=8 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: \frac{7}{26}. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$9x+16\times \frac{7}{26}=8$$

Összeszorozzuk a következőket: 16 és \frac{7}{26}.

$$9x+\frac{56}{13}=8$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{56}{13}.

$$9x=\frac{48}{13}$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 9.

$$x=\frac{16}{39}$$

A rendszer megoldva.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$