{l}{y+1/3x-4=1/2}{5x+y/3x+11=1} megoldása

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { y + 1 } { 3 x - 4 } = \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 5 x + y } { 3 x + 11 } = 1 } \end{array} \right.$$

Megoldás a(z) y, x változóra

$$x=4$$

$$y=3$$

Lépések helyettesítés használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. A változó (x) értéke nem lehet \frac{4}{3}, mert nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk 3x-4,2 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: 2\left(3x-4\right).

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 2 és y+1.

$$2y+2=3x-4$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 3x.

$$2y+2-3x=-4$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2.

$$2y-3x=-4-2$$

Kivonjuk a(z) 2 értékből a(z) -4 értéket. Az eredmény -6.

$$2y-3x=-6$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. A változó (x) értéke nem lehet -\frac{11}{3}, mert nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a következővel: 3x+11.

$$5x+y=3x+11$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 3x.

$$5x+y-3x=11$$

Összevonjuk a következőket: 5x és -3x. Az eredmény 2x.

$$2x+y=11$$

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) y változót úgy, hogy a(z) y változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$2y-3x=-6$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 3x.

$$2y=3x-6$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-6\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{2} és -6+3x.

$$y=\frac{3}{2}x-3$$

Behelyettesítjük a(z) \frac{3x}{2}-3 értéket y helyére a másik, y+2x=11 egyenletben.

$$\frac{3}{2}x-3+2x=11$$

Összeadjuk a következőket: \frac{3x}{2} és 2x.

$$\frac{7}{2}x-3=11$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 3.

$$\frac{7}{2}x=14$$

Az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk a következővel: \frac{7}{2}. Ez ugyanaz, mintha mindkét oldalt megszoroznánk a tört reciprokával.

$$x=4$$

A(z) y=\frac{3}{2}x-3 egyenletben behelyettesítjük x helyére a következőt: 4. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) y változóra.

$$y=\frac{3}{2}\times 4-3$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{3}{2} és 4.

$$y=6-3$$

Összeadjuk a következőket: -3 és 6.

$$y=3$$

A rendszer megoldva.

$$y=3,x=4$$

Lépések mátrixok használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. A változó (x) értéke nem lehet \frac{4}{3}, mert nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk 3x-4,2 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: 2\left(3x-4\right).

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 2 és y+1.

$$2y+2=3x-4$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 3x.

$$2y+2-3x=-4$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2.

$$2y-3x=-4-2$$

Kivonjuk a(z) 2 értékből a(z) -4 értéket. Az eredmény -6.

$$2y-3x=-6$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. A változó (x) értéke nem lehet -\frac{11}{3}, mert nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a következővel: 3x+11.

$$5x+y=3x+11$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 3x.

$$5x+y-3x=11$$

Összevonjuk a következőket: 5x és -3x. Az eredmény 2x.

$$2x+y=11$$

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Az \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2-es mátrix inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) mátrix, így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2\times 2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\left(-6\right)+\frac{3}{7}\times 11\\-\frac{1}{7}\left(-6\right)+\frac{2}{7}\times 11\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) y és x elemeket.

$$y=3,x=4$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. A változó (x) értéke nem lehet \frac{4}{3}, mert nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk 3x-4,2 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: 2\left(3x-4\right).

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 2 és y+1.

$$2y+2=3x-4$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 3x.

$$2y+2-3x=-4$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2.

$$2y-3x=-4-2$$

Kivonjuk a(z) 2 értékből a(z) -4 értéket. Az eredmény -6.

$$2y-3x=-6$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. A változó (x) értéke nem lehet -\frac{11}{3}, mert nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a következővel: 3x+11.

$$5x+y=3x+11$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 3x.

$$5x+y-3x=11$$

Összevonjuk a következőket: 5x és -3x. Az eredmény 2x.

$$2x+y=11$$

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

2y és y egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: 1, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 2.

$$2y-3x=-6,2y+2\times 2x=2\times 11$$

Egyszerűsítünk.

$$2y-3x=-6,2y+4x=22$$

2y+4x=22 kivonása a következőből: 2y-3x=-6: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$2y-2y-3x-4x=-6-22$$

Összeadjuk a következőket: 2y és -2y. 2y és -2y kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$-3x-4x=-6-22$$

Összeadjuk a következőket: -3x és -4x.

$$-7x=-6-22$$

Összeadjuk a következőket: -6 és -22.

$$-7x=-28$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -7.

$$x=4$$

A(z) y+2x=11 egyenletben behelyettesítjük x helyére a következőt: 4. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) y változóra.

$$y+2\times 4=11$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 4.

$$y+8=11$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 8.

$$y=3$$

A rendszer megoldva.

$$y=3,x=4$$