Ugrás a tartalomra
$\estwo{\fraction{x}{3} - \fraction{y}{2} = 8}{\fraction{x}{5} + \fraction{y}{3} = 1} $
Megoldás a(z) x, y változóra
Tick mark Image

Hasonló feladatok a webes keresésből

Megosztás

2x-3y=48
Megvizsgáljuk az első egyenletet. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk 3,2 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: 6.
3x+5y=15
Megvizsgáljuk a második egyenletet. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk 5,3 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: 15.
2x-3y=48,3x+5y=15
Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.
2x-3y=48
Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.
2x=3y+48
Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 3y.
x=\frac{1}{2}\left(3y+48\right)
Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.
x=\frac{3}{2}y+24
Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{2} és 48+3y.
3\left(\frac{3}{2}y+24\right)+5y=15
Behelyettesítjük a(z) \frac{3y}{2}+24 értéket x helyére a másik, 3x+5y=15 egyenletben.
\frac{9}{2}y+72+5y=15
Összeszorozzuk a következőket: 3 és \frac{3y}{2}+24.
\frac{19}{2}y+72=15
Összeadjuk a következőket: \frac{9y}{2} és 5y.
\frac{19}{2}y=-57
Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 72.
y=-6
Az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk a következővel: \frac{19}{2}. Ez ugyanaz, mintha mindkét oldalt megszoroznánk a tört reciprokával.
x=\frac{3}{2}\left(-6\right)+24
A(z) x=\frac{3}{2}y+24 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: -6. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.
x=-9+24
Összeszorozzuk a következőket: \frac{3}{2} és -6.
x=15
Összeadjuk a következőket: 24 és -9.
x=15,y=-6
A rendszer megoldva.
2x-3y=48
Megvizsgáljuk az első egyenletet. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk 3,2 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: 6.
3x+5y=15
Megvizsgáljuk a második egyenletet. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk 5,3 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: 15.
2x-3y=48,3x+5y=15
Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.
\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)
Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.
inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)
Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right) inverz mátrixával.
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)
Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)
Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)
Az \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2-es mátrix inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) mátrix, így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)
Elvégezzük a számolást.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\times 48+\frac{3}{19}\times 15\\-\frac{3}{19}\times 48+\frac{2}{19}\times 15\end{matrix}\right)
Összeszorozzuk a mátrixokat.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-6\end{matrix}\right)
Elvégezzük a számolást.
x=15,y=-6
A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.
2x-3y=48
Megvizsgáljuk az első egyenletet. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk 3,2 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: 6.
3x+5y=15
Megvizsgáljuk a második egyenletet. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk 5,3 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: 15.
2x-3y=48,3x+5y=15
A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.
3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 48,2\times 3x+2\times 5y=2\times 15
2x és 3x egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: 3, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 2.
6x-9y=144,6x+10y=30
Egyszerűsítünk.
6x-6x-9y-10y=144-30
6x+10y=30 kivonása a következőből: 6x-9y=144: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.
-9y-10y=144-30
Összeadjuk a következőket: 6x és -6x. 6x és -6x kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.
-19y=144-30
Összeadjuk a következőket: -9y és -10y.
-19y=114
Összeadjuk a következőket: 144 és -30.
y=-6
Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -19.
3x+5\left(-6\right)=15
A(z) 3x+5y=15 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: -6. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.
3x-30=15
Összeszorozzuk a következőket: 5 és -6.
3x=45
Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 30.
x=15
Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.
x=15,y=-6
A rendszer megoldva.